Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 9 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Gegeben sei der Punkt $R(z \mid f(z))$ für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ ist der Graph der Funktion $t$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ herangezogen, für $x \ge z$ der Graph von $t$. Abbildung 2 stellt diese Situation für das Beispiel $z = 3{,}9$ dar.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so ermitteln, dass diese Fläche 4 Flächeneinheiten groß ist:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung

$$g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Es gilt $g_{1{,}5} = f$.

Der Graph der Funktion $g_k$ hat den Hochpunkt $H_k$ mit $H_k\left(3 + \frac{1}{k} \;\middle|\; 4 \cdot k \cdot \mathrm{e}^{-1}\right)$.

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ zusammen mit dem Graphen von $g_{1{,}5}$ in Abbildung 3 dargestellt.

Teilaufgabe a)

(2)

Zwischen dem Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x=7$ liegt eine eingeschlossene Fläche.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

(3)

Geben Sie sowohl den Wert von $\int_3^w f(x)\,\mathrm{d}x$ für $w \to \infty$ als auch dessen geometrische Bedeutung an.

Teilaufgabe b)

(1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III aussagt:

$$\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$$

Teilaufgabe c)

(3)

Eine Stammfunktion der Funktion $g_k$ ist die Funktion $G_k$ mit $G_k(x) = -4\cdot k \cdot \left(x - 3 + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)}$.

Für $x \ge 3$ begrenzen die $x$-Achse und der Graph der Funktion $g_k$ die nach rechts offene Fläche $A$.

Prüfen Sie rechnerisch, ob der Flächeninhalt von $A$ vom Parameter $k$ abhängig ist.