Aufgabe B5 - Teilaufgabe c(1) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten. Zudem steht ihnen Trinkwasser nur unregelmäßig zur Verfügung.

Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Im Folgenden wird die Schwankung der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars von 0 Uhr bis 20 Uhr an einem Wüstentag betrachtet.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

c) Die Körpertemperatur weiterer Dromedare lässt sich für $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise durch Funktionen $f_a$ modellieren mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Dabei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Welchen Wert der Parameter $a$ annimmt, hängt von der Wasserversorgung des jeweiligen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

(1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeder der Graphen entspricht.

Graph I:

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Graph II:

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Graph III:

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