Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für dessen Längsschnitt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse modelliert.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Dieser verursacht Materialkosten von 176 € pro m³. Die Skatebahn ist durchgehend 5 m breit.

b)

Ermitteln Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen. [3 Punkte]

€

Legen Sie im weiteren Verlauf für die Modellierung von E3 die folgende Gleichung zugrunde:

$$g(x) = \frac{11}{150}(x-8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$$

d) (1)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten von 10 800 € eingeplant.

(i)

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ des Elements E3 bestimmen lässt, für die Materialkosten von 10 800 € entstehen. [2 Punkte]

Die Gleichung liefert als Lösung die Länge $d \approx 8{,}24\,\text{m}$.

(ii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn die Länge von E4 fest 1,5 m beträgt. [2 Punkte]

[Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 liegen bei etwa 3 500 €.]

€

d) (2)

Das Architekturbüro erhält die Vorgabe, dass bei den beiden Elementen E3 und E4 insgesamt nur Materialkosten von 12 000 € anfallen dürfen.

(i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten. [2 Punkte]

%

(ii)

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst, während E4 weiterhin 1,5 m lang bleibt.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 bestimmen lässt, bei der E3 und E4 zusammen genau 12 000 € Materialkosten verursachen.

[Hinweis: Die Gleichung braucht nicht gelöst zu werden.] [2 Punkte]