Aufgabe A2 d · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

d) Pia hat eine Dartscheibe geschenkt erhalten und trifft diese durchschnittlich in etwa $80\,\%$ der Würfe. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll im Folgenden als binomialverteilt mit $p = 0{,}8$ gelten.

Pia macht genau 100 Würfe auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für $X$ sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia genau 80-mal trifft.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer berechnen lässt, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\,\%$ beträgt.