Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2022

Für $k \in \mathbb{R}$ mit $0 < k \le 6$ werden die Pyramiden $\text{ABCD}_k$ mit $\text{A}(0|0|0)$, $\text{B}(4|0|0)$, $\text{C}(0|4|0)$ und $\text{D}_k(0|0|k)$ betrachtet (vgl. Abbildung 1).

Für jeden Wert von $k$ liegt die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ in der Ebene $\text{L}_k$.

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $\text{A}$ und $\text{Q}(1|1|3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.

Für $k = 6$ enthält die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ der Pyramide den Eckpunkt $\text{Q}$ des Quaders. Für kleinere Werte von $k$ schneidet die Seitenfläche $\text{BCD}_k$ den Quader in einem Vieleck.

Nun wird die Pyramide $\text{ABCD}_6$, d. h. diejenige für $k = 6$, betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der $x_1x_2$-Ebene, haben den Eckpunkt $\text{A}$ gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle reellen Werte mit $0 < h < 6$. Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $\text{Q}_h$ in der Seitenfläche $\text{BCD}_6$ der Pyramide.

a)

Begründen Sie, dass das Dreieck $BCD_k$ gleichschenklig ist. [2 BE]

b)

Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$ ist $M(2|2|0)$. Begründen Sie, dass $|\vec{MD_k}| = \left|\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ k \end{pmatrix}\right|$ die Länge einer Höhe des Dreiecks $BCD_k$ ist. [3 BE]

d)

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Größe des Winkels, unter dem die $x_3$-Achse die Ebene $L_k$ schneidet, $30^\circ$ beträgt. [5 BE]