Aufgabe 2 (MMS 2) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Aufgabe 2

Im Folgenden wird zunächst die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h \colon x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}x}$ betrachtet. Die Abbildung zeigt den Graphen von $h$.

Die Tangente an den Graphen von $h$ in dessen Wendepunkt $W(10 \mid h(10))$ wird mit $t$ bezeichnet.

Die Funktion $h$ ist eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_b \colon x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}b \cdot x}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$.

Die Funktion $h$ ist eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_b: x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{10}b\cdot x}$ mit $b \in \mathbb{R}^+$.

c

Geben Sie denjenigen Wert von $b$ an, der zur Funktion $h$ gehört. Zeigen Sie rechnerisch, dass es genau einen Punkt gibt, durch den alle Graphen von $h_b$ verlaufen, und bestimmen Sie dessen Koordinaten.

$(\,$

$\mid$

$\,$)

d

Für jeden Wert von $b$ ist $E_b\left(\frac{10}{b} \;\middle|\; \frac{10}{b}\mathrm{e}^{-1}\right)$ der Extrempunkt und $W_b\left(\frac{20}{b} \;\middle|\; \frac{20}{b}\mathrm{e}^{-2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $h_b$. Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Alle Dreiecke $OW_bE_b$ mit $b \in \mathbb{R}^+$ sind ähnlich.