Aufgabe A2 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k$ mit der Gleichung

$$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x},\quad x\in\mathbb{R},\; k\in\mathbb{R},\; k\neq 0.$$

(1)

Zeigen Sie rechnerisch: $f_k'(x) = \left(-k\cdot x + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}$.

Für die folgenden Aufgabenteile darf die Beziehung $f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k\cdot \mathrm{e}^{-1}$ als gegeben vorausgesetzt werden.

(2)

Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ bei allen Funktionen der Schar eine Extremstelle darstellt, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum haben.