Aufgabe A2 d · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · CAS (2022)

Aufgabenstellung

Die Funktion gg wird durch die folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=13x3−12x2−6x+5,x∈R.g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.

d) Pia hat eine Dartscheibe als Geschenk erhalten. Durchschnittlich trifft sie in etwa 80 %80\,\% der Würfe die Scheibe. Die Zufallsgröße XX: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll im Weiteren als binomialverteilt mit p=0,8p=0{,}8 gelten.

Pia wirft insgesamt 100100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für XX den Erwartungswert sowie die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau 8080-mal trifft.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft, und begründen Sie mithilfe des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100 %100\,\% beträgt.

Aufgabenstellung: Aufgabe A2 d · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Erwartungswert E(X):

Lösung: 80

(1) Standardabweichung σ(X):

Lösung: 4

(2) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau 80-mal trifft.

Lösung: (10080)⋅0,880⋅0,220\binom{100}{80} \cdot 0{,}8^{80} \cdot 0{,}2^{20}

(3) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft.

Lösung: 1−0,21001 - 0{,}2^{100}

(3) Begründen Sie mithilfe des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100 % beträgt.

Lösung: 0,21000{,}2^{100} ist eine sehr kleine positive Zahl nahe 0, daher 1−0,2100≈1=100 %1 - 0{,}2^{100} \approx 1 = 100\,\%.

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