Abitur NRW Mathematik 2022 · LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Das Umweltbundesamt erfasst in regelmäßigen Abständen, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Messwerte erhoben, die sich mit der folgenden Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \ 0 \le t \le 10$$

beschreiben lassen. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist. [1 Punkt]

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie diesen Wert im Kontext der Aufgabe. [2 Punkte]

(3)

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Stickstoffdioxidkonzentration $4\ \mu\text{g}/\text{m}^3$ pro Stunde beträgt. [2 Punkte]

b) Die Funktion $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$ besitzt die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$.

(1)

Berechnen Sie die Größe der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

(2)

Gegeben ist die Funktionenschar $g_a$ mit $g_a(x) = a \cdot f(x+2)$, $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$.

Geben Sie mit Begründung an, wie sich die Größe der Fläche zwischen dem Graphen von $g_a$ und der $x$-Achse gegenüber dem Flächeninhalt aus (1) verändert.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

(1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes an, in dem der Graph von $f_a$ die $y$-Achse schneidet.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

(2)

Der Graph von $f_a$ hat für jedes $a$ genau einen Extrempunkt $E$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $E$ in Abhängigkeit von $a$.

[Hinweis: Eine hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(1) Die Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d zeigen die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$. Von diesen Funktionen sind genau zwei keine Stammfunktionen von $f$.

Begründen Sie mithilfe der dargestellten Graphen, bei welchen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ es sich nicht um Stammfunktionen von $f$ handelt.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(2) Geben Sie die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion $f$ an.

Betrachtet werden die Ebene $E: 5\cdot x_1 + 2\cdot x_2 - x_3 = -4$ und die Punkte $A(2\mid 1\mid 2)$ sowie $B_u(u\mid 2u\mid u)$ mit $u \in \mathbb{R}$. Dabei gehört $A$ nicht zu $E$.

(1)

Zu jedem $u \in \mathbb{R}$ gehört eine Gerade $g_u$, die $A$ und $B_u$ verbindet. Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den $g_u$ parallel zu $E$ liegt. [3 Punkte]

(2)

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ebene $F$ an, in der der Punkt $A$ sowie sämtliche Punkte $B_u$ mit $u \in \mathbb{R}$ liegen. [2 Punkte]

Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $A(a_1\mid a_2)$, $B$ und $C(c_1\mid c_2)$ mit reellen Zahlen $a_1$, $a_2$, $c_1$ und $c_2$ bestimmen in der $x_1x_2$-Ebene ein Parallelogramm $OABC$.

Zusätzlich seien die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} a_1 + c_1 \\ a_2 + c_2 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} a_1 - c_1 \\ a_2 - c_2 \end{pmatrix}$ gegeben.

Abbildung 3 zeigt das Parallelogramm $OABC$.

(1)

Von den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gehört einer zur Diagonalen $e$ und der andere zur Diagonalen $f$. Geben Sie an, welcher Vektor die Diagonale $f = \overline{CA}$ beschreibt. [1 Punkt]

A

$\vec{u}$

B

$\vec{v}$

(2)

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.

Beweisen Sie: Stehen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht aufeinander, so ist das Parallelogramm eine Raute. [4 Punkte]

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW erreicht.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Sekunden (s), die seit dem Start vergangen ist, und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei kurz $f$ genannt.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne Beweis darf im Weiteren benutzt werden: $f''(t) = -\frac{35}{6} \cdot \left(2 - \frac{1}{6}t\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

a) Nach zwei Sekunden hat ein Dragster schon eine Geschwindigkeit von $50\text{ m/s}$ erreicht.

(1)

Bestimmen Sie den hierzu passenden Wert für $k$.

(2)

Bei einem zweiten Dragster ist $k = 0{,}2$.

Während der ersten vier Sekunden erreicht keiner der beiden Dragster seine Höchstgeschwindigkeit. In diesem Zeitraum ist stets eines der beiden Fahrzeuge schneller als das andere.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Dragster in diesen vier Sekunden die größere Geschwindigkeit hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Funktionsterme.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW erreicht.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Sekunden (s), die seit dem Start vergangen ist, und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei kurz $f$ genannt.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne Beweis darf im Weiteren benutzt werden: $f''(t) = -\frac{35}{6} \cdot \left(2 - \frac{1}{6}t\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

In den nachstehenden Teilaufgaben sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ trägt dabei die Bezeichnung $f$.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne weiteren Nachweis darf im Weiteren benutzt werden: $f''(t) = -\frac{35}{6}\cdot \left(2 - \frac{1}{6}t\right)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

Teilaufgabe b)

(1) (i)

Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extremstellen besitzt.

Extremstelle: $t_{\max} =$

(1) (ii)

Geben Sie an, welche maximale Geschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: Die Maximalstelle von $f$ ist $t_{\max} = 6$.]

(2)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert annimmt.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW erreicht.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Sekunden (s), die seit dem Start vergangen ist, und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei kurz $f$ genannt.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne Beweis darf im Weiteren benutzt werden: $f''(t) = -\frac{35}{6} \cdot \left(2 - \frac{1}{6}t\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

Teilaufgabe b) (3)

Die Funktion $F(t)$ soll die Strecke beschreiben, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei soll für $F$ die Bedingung $F'(t) = f(t)$ erfüllt sein.

(i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingung $F'(t) = f(t)$ die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt.

(ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an, die $F$ neben $F'(t) = f(t)$ erfüllen muss, damit $F$ durch beide Bedingungen eindeutig bestimmt ist.

Teilaufgabe c)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Beim Start des Dragsters befindet es sich unmittelbar neben diesem. Die Funktion $g$ modelliert diese konstante Geschwindigkeit; dabei ist $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters und $g(t)$ die Geschwindigkeit.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) ein und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen von $f$ und $g$ für $0 \leq t \leq t_{\max}$.

(2)

Für $a = 1$ beträgt das Integral $\int_0^a (g(t) - f(t))\,dt$ ungefähr $29{,}3$. Erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

(3)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $a$ im Intervall $[0;6]$ das Integral aus c)(2) maximal wird, und geben Sie das Maximum an.

(4)

Es gibt genau einen Wert von $a$ mit $0 < a < 6$, für den $\int_0^a (g(t) - f(t))\,dt = 0$ gilt. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Teilaufgabe d)

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters in den ersten sechs Sekunden nach dem Start:

Sobald der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, fährt er zwei weitere Sekunden mit gleichbleibender Geschwindigkeit. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters in der Phase konstanter Geschwindigkeit grafisch in Abbildung 2 dar. Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert.

Der Fahrer beginnt acht Sekunden nach dem Start zu bremsen. Ab diesem Zeitpunkt beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit. 20 Sekunden nach dem Start steht der Dragster.

(2)

Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch in Abbildung 2 dar. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung für die Funktion $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ der Länge $805\text{ Metern}$ an. Zeigen Sie, dass der Dragster noch in dieser Zone zum Stillstand kommt.

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \mid -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Funktionsgleichung von $f$: $$f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$:

Aufgabenstellung:

a)

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Außerdem liegt im Punkt $W_2\left(1\;\middle|\;-\frac{5}{8}\right)$ ein Wendepunkt des Graphen von $f$ vor.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von $f$ bestimmen.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $f$. [5 Punkte]

[Zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^4 - \frac{3}{4}\cdot x^2,\; x \in \mathbb{R}$.]

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \mid -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Funktionsgleichung von $f$: $$f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$:

b)

Für jedes $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ sind die Punkte $P(0|0)$, $Q_u(u|0)$ und $R_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks $PQ_uR_u$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ durch folgenden Term gegeben ist:$$A(u) = -\frac{1}{16}\cdot u^5 + \frac{3}{8}\cdot u^3.$$

(2)

Ermitteln Sie den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$.

FE

d)

(1)

Zeigen Sie: Für jedes $b \in \mathbb{R}$ stellt der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}\cdot b^3 - \frac{3}{2}\cdot b\right)\cdot x - \frac{3}{8}\cdot b^4 + \frac{3}{4}\cdot b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b|f(b))$ dar.

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \mid -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Funktionsgleichung von $f$: $$f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$:

Teilaufgabe c

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1)

Zeichnen Sie diese Sekante in die Abbildung.

Die Sekante schneidet den Graphen von $f$ außerdem bei $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$.

[Ein Nachweis hierfür wird nicht verlangt.]

(2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass gilt: $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x) - f(x))\,dx = 0$.

(3)

Begründen Sie hiermit (etwa anhand der Abbildung) ohne zusätzliche Rechnung:$$\int_{-1}^{1} (f(x) - s(x))\,dx = 2 \cdot \int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x) - f(x))\,dx$$

Teilaufgabe d (2)–(6)

Die Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $t_b$ schneiden oder berühren, entsprechen den Nullstellen der Differenzfunktion $d_b$ mit $d_b(x) = t_b(x) - f(x)$.

Es gilt: $d_b(x) = -\frac{1}{8} \cdot (x - b)^2 \cdot (x^2 + 2bx + 3b^2 - 6)$.

[Diese Gleichung der Differenzfunktion dürfen Sie ohne Nachweis benutzen.]

(2)

Ermitteln Sie rechnerisch in Abhängigkeit von $b$ diejenigen Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $t_b$ gemeinsame Punkte besitzen.

(3)

(i) Geben Sie für $b = 1$ die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $t_1$ an und zeichnen Sie den Graphen von $t_1$ in die Abbildung.

$x_1$:

$x_2$:

$x_3$:

(ii) Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $t_1$ einschließen.

(4)

(i) Außer $b = 1$ gibt es drei weitere Werte von $b$, bei denen die Graphen von $f$ und $t_b$ eine Fläche aus nur einem Teilstück einschließen.

Ermitteln Sie diese Werte.

(ii) Begründen Sie, dass die Graphen von $f$ und $t_b$ für $b < -\sqrt{3}$ sowie für $b > \sqrt{3}$ keine Fläche einschließen.

(5)

Die Funktion $t_{\frac{3}{2}}$ besitzt die Gleichung $t_{\frac{3}{2}}(x) = -\frac{9}{16}x - \frac{27}{128},\ x \in \mathbb{R}$.

[Diese Funktionsgleichung darf ohne Nachweis genutzt werden.]

Die Graphen von $f$ und $t_{\frac{3}{2}}$ umschließen eine Fläche aus zwei Teilstücken.

Eine Schülerin meint, die größere der beiden Teilflächen sei mehr als achtmal so groß wie die kleinere.

Prüfen Sie, ob diese Behauptung zutrifft.

(6)

Für $1 < b < \sqrt{3}$ gilt für die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ (siehe d)(2)) der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$: $x_2 < x_3 < x_1$.

Die Graphen von $f$ und $t_b$ schließen für $1 < b < \sqrt{3}$ eine Fläche ein, die aus zwei Teilstücken besteht. Eines dieser Teilstücke liegt unterhalb des Graphen von $t_b$ und das andere Teilstück liegt oberhalb des Graphen von $t_b$.

[Diese Aussagen dürfen Sie ohne Nachweis benutzen.]

Genau ein Wert von $b$ mit $1 < b < \sqrt{3}$ führt dazu, dass beide Teilstücke gleich großen Flächeninhalt haben.

Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung dieses Wertes an.

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließt die Bebauung des Ortes an.

© Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 | 0 | 0)$, $B(523 | 20 | 0)$, $C$ und $D(0 | 0 | 65)$ modelliert; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Realität.

a) (3)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung: $65\cdot x_1 + 523\cdot x_3 = 33995$]

Damit eine sichere Landung gelingt, muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine geradlinige Markierungsstrecke $s$ mit einer Länge von $20\text{ m}$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Diese Strecke teilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

b) (1)

Stellen Sie die Strecke $s$ mithilfe einer Parameterform dar.

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug auf einem Kurs längs der Geraden$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R},$$welche die Ebene $E$ im Punkt $S$ mit$$S\left( \frac{652891}{1046a - 2015} + 670 \;\Big|\; 10 \;\Big|\; \frac{-42122a}{1046a - 2015} + 22 \right)$$schneidet. [Nachweis nicht erforderlich]

b) (2) (i)

Geben Sie an, zwischen welchen Werten die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ liegen muss, damit das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

b) (2) (ii)

Ermitteln Sie alle Werte von $a$, für die die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ zwischen den Werten aus (i) liegt.

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließt die Bebauung des Ortes an.

© Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 | 0 | 0)$, $B(523 | 20 | 0)$, $C$ und $D(0 | 0 | 65)$ modelliert; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ besitzt.

(2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn mit der Länge $|\overline{AD}|$ etwa $527\text{ m}$ lang ist.

(4)

Berechnen Sie, unter welchem Winkel die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, sowie die prozentuale Steigung der Landebahn.

%

Teilaufgabe c)

(1)

Damit Landungen sicher verlaufen, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Eine Drohne soll hierfür in einer Ebene $K$ fliegen, die zur Ebene $E$ den Abstand $12\text{ m}$ hat.

Bestimmen Sie rechnerisch einen Punkt, der in der Ebene $K$ liegt.

(2)

Während das Flugzeug ausrollt, verläuft die rechte Tragflächenspitze auf einer Strecke der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 355 \\ 18{,}5 \\ 24 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix},\quad s \in \mathbb{R}.$$

Rechts neben der Landebahn steht ein großer Baum, dessen Astspitze im Punkt $Q(300|28|31)$ liegt.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie weit der Punkt $Q$ von der Geraden $h$ entfernt ist.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer von vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

In Deutschland liegt näherungsweise die folgende Verteilung vor 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

a) Um Komplikationen bei einer Bluttransfusion zu vermeiden, müssen die Blutmerkmale Blutgruppe und Rhesusfaktor berücksichtigt werden. Erst beide Merkmale zusammen legen fest, welche Person für welche andere als Blutspender infrage kommt.

(1)

Weisen Sie nach, dass bei den Personen mit Blutgruppe B etwa 18,2 % den Rhesusfaktor negativ haben.

(2)

Aus den Personen mit Blutgruppe B werden zufällig zwei ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide ausgewählten Personen denselben Rhesusfaktor haben.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer von vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

In Deutschland liegt näherungsweise die folgende Verteilung vor 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

b) Für die folgenden Teilaufgaben gilt bei jeder Blutgruppe die Annahme, dass die Anzahl der Personen mit dieser Blutgruppe in einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Personen binomialverteilt ist.

Die relativen Häufigkeiten der Tabelle sind dabei als Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 200 zufällig ausgewählten Personen mindestens 20 die Blutgruppe B haben.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$:

E: Die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A in einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Personen liegt höchstens 1,5-Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt.

(3)

Die Abbildungen 1 – 3 zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen dreier binomialverteilter Zufallsgrößen. Eine davon beschreibt die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B unter 200 zufällig ausgewählten Personen.

Begründen Sie bei den beiden nicht passenden Abbildungen jeweils, weshalb sie nicht die Verteilung der Anzahl der Personen mit Blutgruppe B unter 200 zufällig ausgewählten Personen darstellen können.

c) Blut der Blutgruppe 0 mit Rhesusfaktor negativ hat eine besondere Bedeutung. Wegen seiner guten Verträglichkeit wird es in Notfällen sehr oft verwendet.

Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 20 Spenden der Blutgruppe 0 mit Rhesusfaktor negativ zusammenkommen.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer von vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

In Deutschland liegt näherungsweise die folgende Verteilung vor 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

d) Die Blutgruppe eines Menschen kann sich darauf auswirken, wie schwer Erkrankungen verlaufen. Für eine bestimmte Erkrankung beträgt die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs in der Gesamtbevölkerung $10\,\%$. Eine Wissenschaftlerin nimmt an, dass diese Wahrscheinlichkeit bei Personen mit Blutgruppe A niedriger ist. Bevor sie ihr Ergebnis veröffentlicht, testet sie diese Annahme mit einem Hypothesentest zum Signifikanzniveau $5\,\%$. Dazu untersucht sie die Krankheitsverläufe von $1\,000$ zufällig ausgewählten Personen mit Blutgruppe A, die an dieser Krankheit erkrankt sind (im Folgenden: Erkrankte), und zählt, wie viele davon einen schweren Verlauf haben.

Als Nullhypothese legt sie fest: $H_0: p \ge 0{,}1$.

(1)

Erläutern Sie, welchen Fehler die Wissenschaftlerin mit dieser Wahl der Nullhypothese vermeiden will.

(2)

Von $1\,000$ zufällig ausgewählten Erkrankten mit Blutgruppe A haben $85$ einen schweren Verlauf dieser Erkrankung.

Beurteilen Sie, ob die Wissenschaftlerin aufgrund dieses Ergebnisses annehmen sollte, dass Personen mit Blutgruppe A seltener einen schweren Verlauf dieser Erkrankung haben.

Ja

Nein

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur ertragen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von $0\text{ Uhr}$ bis $20\text{ Uhr}$ verändert.

Die Funktion $k$ beschreibt näherungsweise die Körpertemperatur dieses Dromedars für $0 \le t \le 20$ mit $$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$ Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a)

(1) Ermitteln Sie rechnerisch die Dauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

c)

Die Körpertemperatur einiger anderer Dromedare wird für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ beschrieben mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des jeweiligen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

(1) Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$ sowie $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ welcher Graph zugeordnet ist.

Graph I:

Graph II:

Graph III:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur ertragen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von $0\text{ Uhr}$ bis $20\text{ Uhr}$ verändert.

Die Funktion $k$ beschreibt näherungsweise die Körpertemperatur dieses Dromedars für $0 \le t \le 20$ mit $$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$ Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a)

(2) Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren ist sie aufgrund ihrer Anpassung an das Wüstenleben deutlich größer als beim Menschen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne des Dromedars im betrachteten Zeitraum.

c)

Selbst unter extremen Bedingungen liegt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars weder über $42\ ^\circ\mathrm{C}$ noch unter $34\ ^\circ\mathrm{C}$.

(i) Begründen Sie, ohne erneut zu rechnen, dass die Funktion $f_a$ die gleichen Extremstellen besitzt wie die Funktion $k$, nämlich $t_1 \approx 4{,}08$ und $t_2 \approx 15{,}92$.

(ii) Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ die Funktionswerte $f_a(t)$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ weder über $42$ noch unter $34$ liegen.

Hinweis: Die Randwerte müssen hier nicht untersucht werden.

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur ertragen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von $0\text{ Uhr}$ bis $20\text{ Uhr}$ verändert.

Die Funktion $k$ beschreibt näherungsweise die Körpertemperatur dieses Dromedars für $0 \le t \le 20$ mit $$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$ Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Der Ausdruck $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ liefert den Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a; b]$.

b) (1)

Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

b) (2)

Betrachtet werden nun Zeiträume der Länge zwei Stunden $[u; u+2]$ mit dem Beginn $u$.

Bestimmen Sie, für welche Werte von $u$ die mittlere Körpertemperatur des Dromedars mindestens $40\text{ }^\circ\text{C}$ beträgt.