Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

(1) Zeigen Sie durch Rechnung: $f'_k(x) = \left(-k \cdot x + \frac{1}{k}\right) \cdot e^{-k^2 \cdot x}$.

Lösung: $$f'_k(x) = \frac{1}{k} \cdot \left(1 \cdot e^{-k^2 \cdot x} + x \cdot (-k^2) \cdot e^{-k^2 \cdot x}\right) = \frac{1}{k} \cdot e^{-k^2 \cdot x} \cdot (1 - k^2 \cdot x) = \left(-k \cdot x + \frac{1}{k}\right) \cdot e^{-k^2 \cdot x}$$

(2) Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ bei jeder Funktion der Schar eine Extremstelle ist...

Lösung: $$f'_k\left(\frac{1}{k^2}\right) = \left(-k \cdot \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k}\right) \cdot e^{-k^2 \cdot \frac{1}{k^2}} = \left(-\frac{1}{k} + \frac{1}{k}\right) \cdot e^{-1} = 0 \cdot e^{-1} = 0$$ Wegen $f''_k\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k \cdot e^{-1} \neq 0$ für alle $k \neq 0$ ist $\frac{1}{k^2}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.

(2) ...und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum aufweisen.

Lösung: $k < 0$