Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Landungen sind ausschließlich bergauf und Starts ausschließlich bergab möglich: Beim Landen rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Starten auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließt die Bebauung des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

a)

(1) Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ hat.

(

|

|

)

(2) Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn mit der Länge $|\overline{AD}|$ ungefähr $527\text{ m}$ lang ist.

(4) Berechnen Sie den Winkel, mit dem die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, sowie die prozentuale Steigung der Landebahn.

c)

(1) Damit Landungen sicher verlaufen, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür fliegt eine Drohne in einer Ebene $K$, die von der Ebene $E$ den Abstand $12\text{ m}$ hat. Bestimmen Sie rechnerisch einen Punkt, der in der Ebene $K$ liegt.

(

|

|

)

(2) Während das Flugzeug ausrollt, bewegt sich die rechte Tragflächenspitze auf einer Strecke der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 355 \\ 18{,}5 \\ 24 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}.$$

Rechts neben der Landebahn steht ein großer Baum, dessen Astspitze bei $Q(300 | 28 | 31)$ liegt.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie weit die Gerade $h$ vom Punkt $Q$ entfernt ist.