Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Modellierung eines Skateparks

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Längsschnitt dieses Abschnitts nach dem Entwurf des Architekten.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4 als äußere Elemente sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die beiden ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse dargestellt.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mithilfe der Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a) (1)

Begründen Sie, weshalb für jedes $x \in \mathbb{R}$ die Gleichung $f(x) = f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.