Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung von $f$ lautet: $f''(x) = \left(\dfrac{81}{4} \cdot x - 27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$.

Teilaufgabe b) (1)

Die Fläche $A$ wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 6$ begrenzt.

(1)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt von $A$.

FE

Teilaufgabe c) (1) (ii)

Gegeben ist für $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ der Punkt $R(z|f(z))$. Die Funktion $t$ hat als Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Betrachtet wird für $x < z$ der Graph von $f$ und für $x \ge z$ der Graph von $t$. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 0{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Der Wert von $z$ lässt sich so bestimmen, dass diese Fläche $4$ Flächeneinheiten groß ist, und zwar mithilfe der folgenden Bedingungen:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\displaystyle \int_{0}^{z} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{z}^{c} t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III bedeutet.