Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Als Tiere der Wüste erleben Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb steuern durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Teilaufgabe a)

(1)

Ermitteln Sie die Zeitdauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

(2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren fällt sie aufgrund ihrer Anpassung an die Wüste deutlich größer aus als beim Menschen. Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne des Dromedars im betrachteten Zeitraum.

(3)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum am stärksten zunimmt.