Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung GK · Teil A · Lineare Algebra (2022)

Aufgabenstellung

1 Aufgabe

Eine Matrix AA heißt selbstinvers, wenn die inverse Matrix A−1A^{-1} mit AA übereinstimmt.

Betrachtet wird die Matrix M=(abc−a)M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} mit a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Zeigen Sie, dass b⋅c≤1b \cdot c \le 1 gilt, wenn MM selbstinvers ist. Bestimmen Sie für a=5a = 5 einen Wert von bb und einen Wert von cc so, dass MM selbstinvers ist.

a)

b)

b=b =

c=c =

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Zeigen Sie, dass b⋅c≤1b \cdot c \le 1 gilt, wenn MM selbstinvers ist.

Lösung: M2=(a2+bc00a2+bc)=(1001)  ⟺  bc=1−a2M^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \iff bc = 1 - a^2, d. h. bc≤1bc \le 1.

Bestimmen Sie für a=5a = 5 einen Wert von bb so, dass MM selbstinvers ist.

Lösung: -4 / 6 / -24 / 1 / -1 / 24 / -2 / 12 / -3 / 8 / -6 / 4 / -8 / 3 / -12 / 2

Bestimmen Sie für a=5a = 5 einen Wert von cc so, dass MM selbstinvers ist.

Lösung: 6 / -4 / 1 / -24 / 24 / -1 / 12 / -2 / 8 / -3 / 4 / -6 / 3 / -8 / 2 / -12

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