Aufgabe A1 - Teilaufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

c) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $h$ mit den Funktionsgleichungen

$$f(x) = (x-3) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$h(x) = x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die zwei Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Kontrollergebnis: Die Schnittstellen liegen bei $x = 0$ und $x = 3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den beiden Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$.

Die Funktion $D(x) = (4-x) \cdot \mathrm{e}^x + 0{,}5 \cdot x^2 - 3 \cdot x$ ist eine Stammfunktion von $d$ mit $d(x) = h(x) - f(x)$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $h$ und $f$ miteinander einschließen.