Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$):

Teilaufgabe b

Zu jedem $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ bilden die Punkte $P(0\mid 0)$, $Q_u(u\mid 0)$ und $R_u(u\mid f(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$.

b) (1)

Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ durch folgenden Term gegeben ist:$$A(u) = -\frac{1}{16}\cdot u^5 + \frac{3}{8}\cdot u^3.$$

b) (2)

Ermitteln Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ für $0 < u < \sqrt{6}$.

Teilaufgabe d

d) (1)

Zeigen Sie: Für jedes $b \in \mathbb{R}$ stellt der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}\cdot b^3 - \frac{3}{2}\cdot b\right)\cdot x - \frac{3}{8}\cdot b^4 + \frac{3}{4}\cdot b^2,\ x \in \mathbb{R},$$die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b\mid f(b))$ dar.

d) (2)(iii)

Ermitteln Sie rechnerisch den größten Abstand in $y$-Richtung, den die Graphen von $f$ und $t_1$ im Intervall $[-3; 1]$ zueinander haben.