Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$ Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zuerst werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

c)

Der Punkt $P(1\mid \mathrm{e})$ ist für einen bestimmten Wert von $a$ ein Punkt des Graphen von $f_a$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ sowie die Steigung der Tangente, die den Graphen von $f_a$ in $P$ berührt.

[3 Punkte]

e) (2)

Für jedes $a \neq 0$ sind die Wendestellen von $f_a$ genau die Lösungen der Gleichung $(a\cdot x^2 - 3)\cdot x = 0$.

Geben Sie die Anzahl der Wendestellen von $f_a$ für sämtliche Werte von $a \in \mathbb{R}$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

[5 Punkte]

Anzahl der Wendestellen für $a = 0$:

Anzahl der Wendestellen für $a < 0$:

Anzahl der Wendestellen für $a > 0$:

e) (3)

Sämtliche Extrempunkte der Graphen dieser Schar befinden sich auf einer gemeinsamen Geraden.

Begründen Sie, dass diese Gerade durch die Gleichung $y = x$ beschrieben wird.

[3 Punkte]