Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2022

Aufgabe 2

Das Unternehmen hat zur Herstellung der Bälle eine neue Maschine angeschafft, mit der eine größere Anzahl von Bällen hergestellt werden kann. Für die neue Maschine soll ein Schätzwert für den Anteil unrunder Bälle ermittelt werden, der bei der Herstellung zu erwarten ist. Dazu wird aus Bällen, die mit der neuen Maschine hergestellt wurden, eine Stichprobe entnommen.

Mithilfe der Gleichung $|h - p| = c \cdot \sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}}$ wird ein Konfidenzintervall $K$ für den unbekannten Anteil $p$ der unrunden Bälle bestimmt. Dabei ist $n$ der Umfang der Stichprobe, $h$ der Anteil der unrunden Bälle in der Stichprobe und $c$ ein von der gewählten Sicherheitswahrscheinlichkeit abhängiger Faktor.

Die angegebene Gleichung und die Gleichung $n\cdot (h-p)^2 = c^2\cdot p\cdot (1-p)$ liefern die gleichen Lösungen für $p$.

Die Abbildung zeigt die Graphen der Terme $f(p) = n\cdot (h-p)^2$ und $g(p) = c^2\cdot p\cdot (1-p)$.

a)

Begründen Sie, dass die abgebildeten Stellen $p_1$ und $p_2$ die Grenzen des Konfidenzintervalls $K$ sind.

b)

Geben Sie an, ob sich für eine Stichprobe größeren Umfangs bei gleichen Werten von $h$ und $c$ ein im Vergleich zu $K$ kürzeres oder längeres Konfidenzintervall ergeben würde. Begründen Sie Ihre Aussage nur mithilfe der abgebildeten Graphen und der zugehörigen Terme.

kürzer

länger

c)

Für eine Stichprobe von 500 Bällen mit 23 unrunden Bällen ergibt sich das Konfidenzintervall $[0{,}032; p_2]$. Berechnen Sie den Wert von $p_2$.

$p_2 \approx$