Aufgabe e - Dartscheibe · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · GTR (2022)

Aufgabenstellung

e) Pia hat eine Dartscheibe geschenkt erhalten und trifft diese durchschnittlich in etwa 80 %80\,\% der Würfe. Die Zufallsgröße XX: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll im Weiteren als binomialverteilt mit p=0,8p = 0{,}8 gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für XX sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau 80-mal trifft und dabei in den ersten zehn Würfen zehnmal trifft.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass die Wahrscheinlichkeit nahezu 100 %100\,\% beträgt.

Aufgabenstellung: Aufgabe e - Dartscheibe · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Berechnen Sie für X den Erwartungswert.

Lösung: 80

(1) Berechnen Sie für X die Standardabweichung.

Lösung: 4

(2) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau 80-mal trifft und dabei in den ersten zehn Würfen zehnmal trifft.

Lösung: 0,810⋅(9070)⋅0,870⋅0,2200{,}8^{10} \cdot \binom{90}{70} \cdot 0{,}8^{70} \cdot 0{,}2^{20}

(3) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft.

Lösung: 1−0,21001 - 0{,}2^{100}

(3) Begründen Sie mithilfe des Terms, dass die Wahrscheinlichkeit nahezu 100 % beträgt.

Lösung: 0,21000{,}2^{100} ist eine sehr kleine positive Zahl nahe 0, daher gilt 1−0,2100≈1=100 %1 - 0{,}2^{100} \approx 1 = 100\,\%.

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