Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu und beim Start auf eine tiefe Schlucht zu. Die Bebauung des Ortes reicht direkt an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten von Punkt $C$ an. [1 Punkt]

(2) Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn eine Länge $|\overline{AD}|$ von etwa $527\text{ m}$ hat. [2 Punkte]

(3) Stellen Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung: $65\cdot x_1 + 523\cdot x_3 = 33995$] [4 Punkte]

(4) Berechnen Sie den Winkel, den die Landebahn mit der Horizontalen einschließt, sowie die Steigung der Landebahn in Prozent. [3 Punkte]

b)

(1) Für eine sichere Landung muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten gibt es eine $20\text{ m}$ lange gerade Markierungsstrecke $s$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2) und die Landebahn im Verhältnis $1:3$ teilt.

Stellen Sie die Strecke $s$ in Parameterform dar. [3 Punkte]

(2) Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug auf einem Kurs längs der Geraden

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix}670 \\ 10 \\ 22\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-15{,}5 \\ 0 \\ a\end{pmatrix},\quad r\in\mathbb{R},$$

welche die Ebene $E$ im Punkt $S$ mit $S\left(\frac{652891}{1046a-2015} + 670 \;\middle|\; 10 \;\middle|\; \frac{-42122a}{1046a-2015} + 22\right)$ schneidet. [Nachweis nicht erforderlich]

(i) Geben Sie an, zwischen welchen Werten die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ liegen muss, damit das Flugzeug bei unverändertem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt. [1 Punkt]

$\le x_1 \le$

(ii) Ermitteln Sie sämtliche Werte von $a$, für die die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ zwischen den Werten aus (i) liegt. [3 Punkte]