Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

c) (1) Zeichnen Sie diese Sekante in die Abbildung; d) (3)(i) zeichnen Sie den Graphen von t_1 in die Abbildung.

Lösung: c) (1) Sekante s: Horizontale Gerade bei $y = -\frac{5}{8} = -0{,}625$. d) (3)(i) Graph von $t_1$: Gerade durch $(1 \mid -0{,}625)$ mit Steigung $m = -1$, schneidet den Graphen von $f$ berührend bei $x = 1$ und schneidend bei $x = -3$.

c) (2) Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass gilt: $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,dx = 0$.

Lösung: $$\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,dx = \left[-\frac{5}{8}x - \frac{1}{40}x^5 + \frac{1}{4}x^3\right]_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} = 0$$

c) (3) Begründen Sie hiermit (etwa anhand der Abbildung) ohne zusätzliche Rechnung: $\int_{-1}^{1} (f(x)-s(x))\,dx = 2\cdot \int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x)-f(x))\,dx$.

Lösung: Die Integrale $\int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x)-f(x))\,dx$ und $\int_{1}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,dx$ entsprechen den Flächeninhalten $A_1$ und $A_3$ unterhalb von $s$ und oberhalb von $f$. Das Integral $\int_{-1}^{1} (f(x)-s(x))\,dx$ entspricht dem Flächeninhalt $A_2$ oberhalb von $s$ und unterhalb von $f$. Da $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,dx = 0$, ist $A_2 = A_1 + A_3$. Wegen der Achsensymmetrie von $f$ und $s$ zur $y$-Achse gilt $A_1 = A_3$, folglich $A_2 = 2\cdot A_1$.

d) (2) Ermitteln Sie rechnerisch in Abhängigkeit von $b$ diejenigen Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $t_b$ gemeinsame Punkte besitzen.

Lösung: $x_1 = b$, $x_2 = -b - \sqrt{6 - 2b^2}$, $x_3 = -b + \sqrt{6 - 2b^2}$ (sofern diese existieren)

d) (3)(i) Stelle $x_1$ für $b = 1$

Lösung: 1

d) (3)(i) Stelle $x_2$ für $b = 1$

Lösung: -3

d) (3)(i) Stelle $x_3$ für $b = 1$

Lösung: 1

d) (3)(ii) Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $t_1$ einschließen

Lösung: 6,4

d) (4)(i) Weitere Werte von $b$, bei denen die Graphen eine Fläche aus nur einem Teilstück einschließen

Lösung: $b = -\sqrt{3}$, $b = -1$, $b = \sqrt{3}$

d) (4)(ii) Begründen Sie, dass die Graphen der Funktionen $f$ und $t_b$ für $b < -\sqrt{3}$ und für $b > \sqrt{3}$ keine Fläche einschließen.

Lösung: Für $b < -\sqrt{3}$ und für $b > \sqrt{3}$ ist der Radikand $6 - 2b^2 < 0$. Daher existieren die Schnittstellen $x_2$ und $x_3$ nicht und es gibt mit $x_1 = b$ nur einen einzigen gemeinsamen Punkt (den Berührpunkt). Ein einzelner gemeinsamer Punkt reicht nicht aus, um eine Fläche einzuschließen.

d) (5) Prüfen Sie, ob diese Behauptung zutrifft.

Lösung: Für $b = \frac{3}{2}$ ergeben sich die Schnittstellen: $x_1 = \frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{-(\sqrt{6}+3)}{2} \approx -2{,}72$, $x_3 = \frac{\sqrt{6}-3}{2} \approx -0{,}28$. Die Inhalte der beiden Teilflächen betragen: $$A_{\text{links}} = \int_{x_2}^{x_3} (t_{\frac{3}{2}}(x) - f(x))\,dx = \frac{93\sqrt{6}}{80} \approx 2{,}85$$ $$A_{\text{rechts}} = \int_{x_3}^{x_1} (f(x) - t_{\frac{3}{2}}(x))\,dx = \frac{93\sqrt{6} - 351}{160} \approx 0{,}33$$ Verhältnis: $\frac{2{,}85}{0{,}33} \approx 8{,}64 > 8$ (mit ungerundeten Werten ca. $8{,}71$). Die Behauptung trifft zu.

d) (6) Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung dieses Wertes an.

Lösung: $$\int_{x_2}^{x_3} (f(x) - t_b(x))\,dx = \int_{x_3}^{x_1} (t_b(x) - f(x))\,dx$$