Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie der Punkt $G(0|0|146)$ gegeben. Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

Für den Neubau eines Wolkenkratzers erstellt ein Architekturbüro eine Planung. Das Gebäude wird durch den Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert; dabei steht im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

In einer Ebene über dem Dach, die parallel zur Dachfläche $GEF$ liegt, ist eine Fläche mit Solarkollektoren vorgesehen (siehe Abbildung 2).

Teilaufgabe a

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $B$ an.

Zu jedem $a \ge 0$ ist der Punkt $G_a(0 | 0 | a)$ gegeben.

(2)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_aEF$ für alle $a \ge 0$ bei $E$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Bestimmen Sie den Wert $0 \le a \le 246$, für den das Dreieck $G_aEF$ einen Flächeninhalt von $780 \cdot \sqrt{41}\text{ FE}$ besitzt.

(4)

Für $a = 246$ gilt $G_a = D$. Das Dreieck $DEF$ hat den Flächeninhalt $2400\text{ FE}$.

Bestimmen Sie das Volumen des Prismas $ABCDEF$. [Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

Teilaufgabe b

(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ gekürzt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ durch diese Kürzung kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

%

Teilaufgabe c

(2)

Berechnen Sie den Winkel, den $E_{\text{Dach}}$ mit der Ebene $E_{\text{Wand}}$ einschließt, in welcher die Wandfläche $BCFE$ liegt.

°

(3)

Über dem Dach soll in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene eine Solarkollektorfläche angebracht werden (siehe Abbildung 2).

Diese Ebene liegt $2{,}5\text{ m}$ von der Dachfläche $GEF$ entfernt.

Bestimmen Sie rechnerisch die $x_3$-Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P(0|100|z)$.