Teilaufgabe f · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

(1) Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren die Diagonale f = CA beschreibt.

Lösung: $\vec{v}$

(2) Beweisen Sie: Stehen u und v senkrecht aufeinander, so ist das Parallelogramm eine Raute.

Lösung: Da das Viereck $OABC$ ein Parallelogramm ist, gilt: $\overline{OA} = \overline{CB}$ und $\overline{OC} = \overline{AB}$. Es reicht also zu zeigen, dass $|\vec{OA}| = |\vec{OC}|$. $$\vec{u} \perp \vec{v}$$ $$\Rightarrow \begin{pmatrix} a_1+c_1 \\ a_2+c_2 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} a_1-c_1 \\ a_2-c_2 \end{pmatrix}$$ $$\Rightarrow (a_1+c_1)(a_1-c_1) + (a_2+c_2)(a_2-c_2) = 0$$ $$\Rightarrow a_1^2 - c_1^2 + a_2^2 - c_2^2 = 0$$ $$\Rightarrow a_1^2 + a_2^2 = c_1^2 + c_2^2$$ $$\Rightarrow |\vec{OA}|^2 = |\vec{OC}|^2$$ $$\Rightarrow |\vec{OA}| = |\vec{OC}|$$ $$\Rightarrow \text{Das Parallelogramm } OABC \text{ ist eine Raute.}$$