Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$):

Teilaufgabe c

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1)

Zeichnen Sie die genannte Sekante in die Abbildung.

Die Sekante und der Graph von $f$ besitzen außerdem Schnittpunkte bei $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$.

[Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

(2) (i)

Ermitteln Sie $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x) - f(x))\,dx$.

(2) (ii)

Begründen Sie unter Nutzung Ihres Ergebnisses (z. B. anhand der Abbildung) ohne zusätzliche Rechnung:

$$\int_{-1}^{1} (f(x) - s(x))\,dx = 2 \cdot \int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x) - f(x))\,dx$$

Teilaufgabe d (ab (2))

Die Tangente $t_b$ berührt den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$ und ist gegeben durch:

$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die gemeinsamen Punkte von $f$ und $t_b$ liegen an den Stellen:

$$x_1 = b, \quad x_2 = -b - \sqrt{6 - 2b^2}, \quad x_3 = -b + \sqrt{6 - 2b^2}$$

(2) (i)

Geben Sie für $b = 1$ die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ an und zeichnen Sie außerdem den Graphen von $t_1$ in die Abbildung.

$x_1$:

$x_2$:

$x_3$:

(2) (ii)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $t_1$ einschließen.

FE

(3) (i)

Außer für $b = 1$ gibt es drei weitere Werte von $b$, für die die Graphen von $f$ und $t_b$ eine Fläche mit nur einem Teilstück einschließen.

Ermitteln Sie diese Werte.

(3) (ii)

Begründen Sie, dass die Graphen von $f$ und $t_b$ für $b < -\sqrt{3}$ sowie für $b > \sqrt{3}$ keine Fläche einschließen.

(4)

Zwischen den Graphen von $f$ und $t_{\frac{3}{2}}$ liegt eine Fläche, die aus zwei Teilstücken besteht.

Eine Schülerin meint, die größere Teilfläche sei mehr als achtmal so groß wie die kleinere.

Prüfen Sie, ob diese Behauptung zutrifft.

(5)

Im Bereich $1 < b < \sqrt{3}$ gilt für die Werte $x_1$, $x_2$ und $x_3$: $x_2 < x_3 < x_1$.

Die Graphen von $f$ und $t_b$ schließen für $1 < b < \sqrt{3}$ eine Fläche ein, die aus zwei Teilstücken besteht. Eines dieser Teilstücke liegt unterhalb des Graphen von $t_b$ und das andere Teilstück liegt oberhalb des Graphen von $t_b$.

[Diese Aussagen können Sie ohne Nachweis verwenden.]

Es gibt genau einen Wert von $b$ mit $1 < b < \sqrt{3}$, für den diese beiden Teilstücke den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Geben Sie einen Ansatz an, mit dem sich dieser Wert berechnen lässt.