Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten. Zudem steht ihnen Trinkwasser nur unregelmäßig zur Verfügung.

Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Im Folgenden wird die Schwankung der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars von 0 Uhr bis 20 Uhr an einem Wüstentag betrachtet.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Der Ausdruck $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ liefert den Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a;b]$.

b) (1)

Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

b) (2)

Nun sollen Zeiträume der Länge zwei Stunden $[u; u+2]$ mit dem Startzeitpunkt $u$ untersucht werden.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $u$, für die die mittlere Körpertemperatur des Dromedars mindestens $40\,^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

$u_{\text{min}} \approx$

$u_{\text{max}} \approx$