Abitur NRW Mathematik 2022 · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Das Umweltbundesamt erfasst in regelmäßigen Abständen, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden hinweg, beginnend um 8 Uhr (Beobachtungsbeginn), Messwerte aufgenommen und mithilfe der folgenden Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R},\ 0 \leq t \leq 10$$

modelliert. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g/m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\frac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Stickstoffdioxidkonzentration den Wert $4\;\mu\text{g/m}^3$ pro Stunde annimmt.

Betrachtet wird die Funktion $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$, die die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ besitzt.

(1)

Berechnen Sie die Größe der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

(2)

Gegeben ist die Funktionenschar $g_a$ mit $g_a(x) = a \cdot f(x+2)$, $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$.

Geben Sie mit Begründung an, wie sich die Größe der Fläche zwischen dem Graphen von $g_a$ und der $x$-Achse gegenüber dem Flächeninhalt aus (1) verändert.

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x + 3}$, $x \in \mathbb{R}$, $a > 0$.

(1)

Geben Sie an, in welchem Punkt der Graph von $f_a$ die $y$-Achse schneidet.

$S_y($ $|$ $)$

(2)

Jede Funktion $f_a$ hat für alle $a$ genau einen Extrempunkt $E$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $E$ in Abhängigkeit von $a$.

[Hinweis: Eine hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.]

$E($ $|$ $)$

d) Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Die Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d zeigen die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$. Von diesen Funktionen sind genau zwei keine Stammfunktionen von $f$.

Begründen Sie mithilfe der Graphen, bei welchen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ es sich nicht um Stammfunktionen von $f$ handelt.

Funktion

(2)

Geben Sie für $f$ die Gleichung einer möglichen Stammfunktion an.

Betrachtet werden die Ebene $E: 5\cdot x_1 + 2\cdot x_2 - x_3 = -4$ und die Punkte $A(2|1|2)$ sowie $B_u(u|2u|u)$, $u \in \mathbb{R}$. Dabei befindet sich $A$ nicht in $E$.

(1)

Zu jedem $u \in \mathbb{R}$ gehört eine Gerade $g_u$, die $A$ und $B_u$ verbindet.

Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den $g_u$ parallel zu $E$ ist.

(2)

Geben Sie eine Parameterdarstellung derjenigen Ebene $F$ an, in der der Punkt $A$ und sämtliche Punkte $B_u$ mit $u \in \mathbb{R}$ liegen.

Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $A(a_1|a_2)$, $B$ und $C(c_1|c_2)$ mit reellen Zahlen $a_1$, $a_2$, $c_1$ und $c_2$ legen in der $x_1x_2$-Ebene ein Parallelogramm $OABC$ fest.

Zudem seien die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} a_1+c_1 \\ a_2+c_2 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} a_1-c_1 \\ a_2-c_2 \end{pmatrix}$ gegeben.

Abbildung 3 zeigt das Parallelogramm $OABC$.

(1)

Von den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gehört einer zur Diagonalen $e$ und der andere zur Diagonalen $f$.

Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren die Diagonale $f = \overline{CA}$ beschreibt.

$\vec{u}$

$\vec{v}$

(2)

Als Raute bezeichnet man ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.

Beweisen Sie: Stehen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht aufeinander, so ist das Parallelogramm eine Raute.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

a) Ein Dragster hat schon nach zwei Sekunden eine Geschwindigkeit von $50\text{ m/s}$ erreicht.

(1)

Bestimmen Sie den zu dieser Angabe passenden Wert von $k$.

(2)

Bei einem zweiten Dragster ist $k = 0{,}2$.

Während der ersten vier Sekunden erreicht keines der beiden Fahrzeuge seine Höchstgeschwindigkeit. In diesem Zeitraum ist stets eines der beiden Fahrzeuge schneller als das andere.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Dragster in diesem Zeitraum von vier Sekunden schneller ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Funktionsterme.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den nachstehenden Teilaufgaben sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei kurz $f$ genannt.

In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ dargestellt.

b) (1) (i)

Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extremstellen besitzt.

b) (1) (ii)

Geben Sie an, welche maximale Geschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: Die Maximalstelle von $f$ ist $t_{\max} = 6$.]

b) (2)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren maximalen Wert annimmt.

b) (3) (i)

Mit $F(t)$ wird die Länge der Strecke modelliert, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zu einem Zeitpunkt $t$ zurücklegt. Dabei muss für die Funktion $F$ die Bedingung $F'(t) = f(t)$ gelten.

Begründen Sie, dass die Funktion $F$ durch die Bedingung $F'(t) = f(t)$ allein noch nicht eindeutig bestimmt ist.

b) (3) (ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung für die Funktion $F$ neben $F'(t) = f(t)$ an, durch die $F$ mit beiden Bedingungen eindeutig bestimmt ist.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

Teilaufgabe c)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit konstant 45 m/s. Im Moment des Dragster-Starts befindet es sich genau auf gleicher Höhe wie der Dragster. Seine gleichbleibende Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ beschrieben; dabei steht $g(t)$ für die Geschwindigkeit und $t$ für die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen von $f$ und $g$ für $0 \le t \le t_{\max}$.

( |)

(2)

Für $a = 1$ beträgt das Integral $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t$ ungefähr 29,3.

Erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang und ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $a$ im Intervall $[0; 6]$ das Integral aus c)(2) maximal wird, und geben Sie dieses Maximum an.

(4)

Genau ein Wert $a$ mit $0 < a < 6$ erfüllt $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t = 0$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ und erläutern Sie, was er im Sachzusammenhang bedeutet.

Teilaufgabe d)

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Hat der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, behält er diese noch zwei weitere Sekunden bei. In dieser Zeitspanne passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit grafisch dar.

Bestimmen Sie die Zeit nach dem Start, nach der der Dragster die Ziellinie überquert.

[Zur Kontrolle: Die Ziellinie wird etwa 6,9 Sekunden nach dem Start überquert.]

Der Fahrer leitet acht Sekunden nach dem Start das Bremsen ein. Ab dann beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach 20 Sekunden steht der Dragster still.

(2)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch dar.

Bestimmen Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung für $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ der Länge $805\text{ Metern}$ an.

Zeigen Sie, dass der Dragster noch innerhalb dieser Zone anhält.

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$):

a)

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Außerdem ist der Punkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$ ein Wendepunkt des Graphen von $f$.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von $f$ bestimmen.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von $f$.

[Zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$, $x \in \mathbb{R}$.] (5 Punkte)

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$):

Teilaufgabe b

Zu jedem $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ bilden die Punkte $P(0\mid 0)$, $Q_u(u\mid 0)$ und $R_u(u\mid f(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$.

b) (1)

Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ durch folgenden Term gegeben ist:$$A(u) = -\frac{1}{16}\cdot u^5 + \frac{3}{8}\cdot u^3.$$

b) (2)

Ermitteln Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ für $0 < u < \sqrt{6}$.

Teilaufgabe d

d) (1)

Zeigen Sie: Für jedes $b \in \mathbb{R}$ stellt der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}\cdot b^3 - \frac{3}{2}\cdot b\right)\cdot x - \frac{3}{8}\cdot b^4 + \frac{3}{4}\cdot b^2,\ x \in \mathbb{R},$$die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b\mid f(b))$ dar.

d) (2)(iii)

Ermitteln Sie rechnerisch den größten Abstand in $y$-Richtung, den die Graphen von $f$ und $t_1$ im Intervall $[-3; 1]$ zueinander haben.

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$):

Teilaufgabe c

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1)

Zeichnen Sie die genannte Sekante in die Abbildung.

Die Sekante und der Graph von $f$ besitzen außerdem Schnittpunkte bei $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$.

[Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

(2) (i)

Ermitteln Sie $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x) - f(x))\,dx$.

(2) (ii)

Begründen Sie unter Nutzung Ihres Ergebnisses (z. B. anhand der Abbildung) ohne zusätzliche Rechnung:

$$\int_{-1}^{1} (f(x) - s(x))\,dx = 2 \cdot \int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x) - f(x))\,dx$$

Teilaufgabe d (ab (2))

Die Tangente $t_b$ berührt den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$ und ist gegeben durch:

$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die gemeinsamen Punkte von $f$ und $t_b$ liegen an den Stellen:

$$x_1 = b, \quad x_2 = -b - \sqrt{6 - 2b^2}, \quad x_3 = -b + \sqrt{6 - 2b^2}$$

(2) (i)

Geben Sie für $b = 1$ die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ an und zeichnen Sie außerdem den Graphen von $t_1$ in die Abbildung.

$x_1$:

$x_2$:

$x_3$:

(2) (ii)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $t_1$ einschließen.

FE

(3) (i)

Außer für $b = 1$ gibt es drei weitere Werte von $b$, für die die Graphen von $f$ und $t_b$ eine Fläche mit nur einem Teilstück einschließen.

Ermitteln Sie diese Werte.

(3) (ii)

Begründen Sie, dass die Graphen von $f$ und $t_b$ für $b < -\sqrt{3}$ sowie für $b > \sqrt{3}$ keine Fläche einschließen.

(4)

Zwischen den Graphen von $f$ und $t_{\frac{3}{2}}$ liegt eine Fläche, die aus zwei Teilstücken besteht.

Eine Schülerin meint, die größere Teilfläche sei mehr als achtmal so groß wie die kleinere.

Prüfen Sie, ob diese Behauptung zutrifft.

(5)

Im Bereich $1 < b < \sqrt{3}$ gilt für die Werte $x_1$, $x_2$ und $x_3$: $x_2 < x_3 < x_1$.

Die Graphen von $f$ und $t_b$ schließen für $1 < b < \sqrt{3}$ eine Fläche ein, die aus zwei Teilstücken besteht. Eines dieser Teilstücke liegt unterhalb des Graphen von $t_b$ und das andere Teilstück liegt oberhalb des Graphen von $t_b$.

[Diese Aussagen können Sie ohne Nachweis verwenden.]

Es gibt genau einen Wert von $b$ mit $1 < b < \sqrt{3}$, für den diese beiden Teilstücke den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Geben Sie einen Ansatz an, mit dem sich dieser Wert berechnen lässt.

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Landungen sind ausschließlich bergauf und Starts ausschließlich bergab möglich: Beim Landen rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Starten auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließt die Bebauung des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe a (3)

(3)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung: $65\cdot x_1 + 523\cdot x_3 = 33995$]

Teilaufgabe b

Für eine sichere Landung muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine geradlinige, $20\text{ m}$ lange Markierungsstrecke $s$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Sie teilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

(1)

Stellen Sie die Strecke $s$ in Parameterform dar.

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug und fliegt entlang der Geraden$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R},$$die die Ebene $E$ im Punkt $S$ mit $S\left(\frac{652891}{1046a - 2015} + 670 \,\Big|\, 10 \,\Big|\, \frac{-42122a}{1046a - 2015} + 22\right)$ schneidet. [Nachweis nicht erforderlich]

(2) (i)

Geben Sie an, zwischen welchen Werten die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ liegen muss, damit das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

(2) (ii)

Ermitteln Sie alle Werte von $a$, für die die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ zwischen den Werten aus (i) liegt.

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Landungen sind ausschließlich bergauf und Starts ausschließlich bergab möglich: Beim Landen rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Starten auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließt die Bebauung des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

a)

(1) Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ hat.

(

|

|

)

(2) Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn mit der Länge $|\overline{AD}|$ ungefähr $527\text{ m}$ lang ist.

(4) Berechnen Sie den Winkel, mit dem die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, sowie die prozentuale Steigung der Landebahn.

c)

(1) Damit Landungen sicher verlaufen, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür fliegt eine Drohne in einer Ebene $K$, die von der Ebene $E$ den Abstand $12\text{ m}$ hat. Bestimmen Sie rechnerisch einen Punkt, der in der Ebene $K$ liegt.

(

|

|

)

(2) Während das Flugzeug ausrollt, bewegt sich die rechte Tragflächenspitze auf einer Strecke der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 355 \\ 18{,}5 \\ 24 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}.$$

Rechts neben der Landebahn steht ein großer Baum, dessen Astspitze bei $Q(300 | 28 | 31)$ liegt.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie weit die Gerade $h$ vom Punkt $Q$ entfernt ist.

Aufgabenstellung:

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das positiv oder negativ ausfällt. Wie sich die Blutmerkmale innerhalb der Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

a) Um Komplikationen bei einer Bluttransfusion zu vermeiden, müssen die Blutmerkmale Blutgruppe und Rhesusfaktor berücksichtigt werden. Gemeinsam bestimmen diese beiden Merkmale, welche Person für welche andere Blut spenden darf.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Anteil der Personen mit Rhesusfaktor negativ an allen Personen der Blutgruppe B etwa $18{,}2\,\%$ beträgt.

(2)

Aus der Gruppe der Personen mit Blutgruppe B werden zufällig zwei Personen ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Personen denselben Rhesusfaktor haben.

Aufgabenstellung:

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das positiv oder negativ ausfällt. Wie sich die Blutmerkmale innerhalb der Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

Für alle Teilaufgaben gilt: Bei jeder Blutgruppe sei die Anzahl der Personen mit dieser Blutgruppe in einer Zufallsstichprobe von 200 Personen binomialverteilt. Die relativen Häufigkeiten der Tabelle sind dabei als Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

b)

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 200 zufällig ausgewählten Personen mindestens 20 die Blutgruppe B haben.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis $E$:

$E$: Die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A unter 200 zufällig ausgewählten Personen weicht um höchstens 1,5-Standardabweichungen von ihrem Erwartungswert ab.

(3)

Die Abbildungen 1 – 3 zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen dreier binomialverteilter Zufallsgrößen. Eine davon beschreibt die Anzahl der Personen mit der Blutgruppe B unter 200 zufällig ausgewählten Personen.

Begründen Sie für jede der beiden übrigen Abbildungen, weshalb sie nicht die Verteilung der Anzahl der Personen mit der Blutgruppe B unter 200 zufällig ausgewählten Personen darstellen kann.

c)

Blut der Blutgruppe 0 mit Rhesusfaktor negativ ist besonders wichtig, da es wegen seiner guten Verträglichkeit in Notfällen sehr oft verwendet wird.

Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 20 Spenden der Blutgruppe 0 mit Rhesusfaktor negativ erhält.

Aufgabenstellung:

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das positiv oder negativ ausfällt. Wie sich die Blutmerkmale innerhalb der Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

d) Die Blutgruppe kann die Schwere des Verlaufs von Erkrankungen beeinflussen. Für eine bestimmte Erkrankung beträgt die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs in der Gesamtbevölkerung $10\,\%$. Eine Wissenschaftlerin nimmt an, dass diese Wahrscheinlichkeit bei Menschen mit Blutgruppe A kleiner ist. Bevor sie veröffentlicht, testet sie ihre Annahme mit einem Hypothesentest zum Signifikanzniveau $5\,\%$. Dazu untersucht sie die Krankheitsverläufe von $1\,000$ zufällig ausgewählten Personen mit Blutgruppe A, die an dieser Krankheit erkrankt sind (im Folgenden: Erkrankte), und zählt, wie viele von ihnen einen schweren Verlauf haben.

Als Nullhypothese setzt sie an: $H_0: p \ge 0{,}1$.

(1)

Erläutern Sie, welchen Fehler die Wissenschaftlerin mit der Wahl dieser Nullhypothese vermeiden möchte. [2 Punkte]

(2)

Von $1\,000$ zufällig ausgewählten Erkrankten mit Blutgruppe A haben $85$ einen schweren Verlauf dieser Erkrankung.

Beurteilen Sie, ob die Wissenschaftlerin aufgrund dieses Ergebnisses annehmen sollte, dass die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Personen mit Blutgruppe A geringer ist. [3 Punkte]

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Temperaturwechsel in ihrer Umgebung aushalten und finden nur selten Trinkwasser. Deshalb wird die Körpertemperatur durstender Dromedare so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch die Dauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\text{C}$ beträgt.

Für einige weitere Dromedare lässt sich die Körpertemperatur für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) mithilfe von Funktionen $f_a$ modellieren mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des jeweiligen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

d) (1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeder der Graphen entspricht.

Graph

Zugehöriger Parameter $a$

Graph I

Graph II

Graph III

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Temperaturwechsel in ihrer Umgebung aushalten und finden nur selten Trinkwasser. Deshalb wird die Körpertemperatur durstender Dromedare so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a) (2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren ist sie aufgrund ihrer Anpassung an das Wüstenleben erheblich größer als beim Menschen.

Bestimmen Sie die Temperaturspanne des Dromedars für den betrachteten Zeitraum durch eine Rechnung.

d) (2)

Für einige weitere Dromedare wird die Körpertemperatur im Bereich $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise durch Funktionen $f_a$ modelliert mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Selbst unter extremen Bedingungen liegt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars weder über $42\text{ }^{\circ}\text{C}$ noch unter $34\text{ }^{\circ}\text{C}$.

(i)

Begründen Sie, ohne weiter zu rechnen, dass $f_a$ die gleichen Extremstellen besitzt wie die Funktion $k$, nämlich $t_1 \approx 4{,}08$ und $t_2 \approx 15{,}92$.

(ii)

Ermitteln Sie die Werte von $a$, für die $f_a(t)$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ weder größer als $42$ noch kleiner als $34$ ist.

Hinweis: Die Randwerte müssen hier nicht untersucht werden.

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Temperaturwechsel in ihrer Umgebung aushalten und finden nur selten Trinkwasser. Deshalb wird die Körpertemperatur durstender Dromedare so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

b) Der Ausdruck $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ liefert den Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a; b]$.

(1)

Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

(2)

Nun sollen Zeiträume der Länge zwei Stunden $[u; u+2]$ mit dem Startzeitpunkt $u$ untersucht werden.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $u$, für die die mittlere Körpertemperatur des Dromedars mindestens $40\ ^\circ\text{C}$ beträgt.

h

h

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Temperaturwechsel in ihrer Umgebung aushalten und finden nur selten Trinkwasser. Deshalb wird die Körpertemperatur durstender Dromedare so gesteuert, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Die Körpertemperatur des durstenden Dromedars nimmt bis 24 Uhr weiter ab. Um 24 Uhr liegt sie bei ungefähr $37\ ^\circ\text{C}$.

Eine quadratische Funktion $p$ mit $p(t) = a \cdot t^2 + b \cdot t + c$ soll für $20 \leq t \leq 24$ den Verlauf der Körpertemperatur modellieren. Der Graph von $p$ soll im Punkt $(20 \mid k(20))$ knickfrei in den Graphen der Funktion $k$ übergehen. Ebenso soll der Punkt $(24 \mid 37)$ auf dem Graphen der Funktion $p$ liegen.

c)

Geben Sie drei Gleichungen an, anhand derer sich die Funktion $p$ ermitteln lässt.