Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie hohen Anforderungen genügen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl ihr Schraubenkörper als auch die darauf aufgebrachte Beschichtung eine gute Qualität aufweisen. Im Weiteren wird eine Schraube als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4{,}5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

b) (1)

Für eine Untersuchung werden der Produktion zufällig 500 Schrauben entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 20 dieser Schrauben fehlerhaft sind.

b) (2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens 200 davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ fehlerfrei sind.

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt 5000 fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

c) (1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die produziert werden muss, damit der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben mindestens 5000 beträgt.

c) (2)

In der Produktion entstehen 5236 Schrauben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fehlerfreien Schrauben den Bedarf von „Wind 24“ decken.