Abitur NRW Mathematik 2022 · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

(1)

Begründen Sie, warum der Graph von $f_2$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse verläuft.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit$$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

(2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ liegt bei $f_k$ an der Stelle $x = 1$ eine Wendestelle vor.

Berechnen Sie diesen Wert von $k$.

Für eine Funktionenschar $f_k$ gilt die folgende Gleichung $$f_k(x) = \frac{1}{k} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}, \quad x \in \mathbb{R},\ k \in \mathbb{R},\ k \neq 0.$$

(1)

Zeigen Sie rechnerisch: $f_k'(x) = \left(-k \cdot x + \frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}$.

Für die weiteren Teilaufgaben dürfen Sie benutzen: $f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k \cdot \mathrm{e}^{-1}$.

(2)

Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ für jede Funktion der Schar eine Extremstelle ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum aufweisen.

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen$$f(x)=(x-3)\cdot \mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R},$$$$h(x)=x-3,\quad x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie rechnerisch die zwei Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen lauten $x=0$ und $x=3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$.

Eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=h(x)-f(x)$ ist $D(x)=(4-x)\cdot \mathrm{e}^x+0{,}5\cdot x^2-3\cdot x$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von $h$ und $f$ umschlossen wird.

Gegeben sind die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$; dabei ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Der Graph $G_F$ von $F$ ist in der Abbildung dargestellt.

(1)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_1^7 f(x)\,\mathrm{d}x$.

(2)

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Funktion $f$ an der Stelle $1$.

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s, t \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ auf der Ebene $E$ senkrecht steht. [1 Punkt]

(2)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $D$, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet. [4 Punkte]

Die Punkte $A(-5|5|-3)$ und $B(-1|1|-1)$ sind vorgegeben.

Geben Sie den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ an und bestimmen Sie eine Gleichung jener Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel ist. [5 Punkte]

1.

2.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=9\cdot (x-3)\cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)},\ x\in \mathbb{R}$. In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ zu sehen.

Für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 3{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche 4 Flächeneinheiten groß ist:

$$\begin{aligned}\text{I: } & t(z)=f(z) \\ \text{II: } & t'(z)=f'(z) \\ \text{III: } & \int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4, \text{ wobei } c \text{ die Nullstelle von } t \text{ ist.}\end{aligned}$$

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung $$g_k(x)=4\cdot k^2\cdot (x-3)\cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)},\ x\in \mathbb{R}.$$ Es gilt $g_{1{,}5}=f$. In Abbildung 3 sind die Graphen von $g_{1{,}5}$ sowie $g_a$ (für einen Parameterwert $a > 0$) dargestellt.

Teilaufgabe a)

(1)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$-Achse sowie genau einen Hochpunkt $H$.

Geben Sie an, welche Koordinaten $N$ hat.

Ermitteln Sie, welche Koordinaten der Punkt $H$ hat.

(4)

Für jedes $3 < u \le 9$ sind $N(3|0)$, $P(9|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

(i) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{NPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ berechnen lässt.

(ii) Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ am größten ist.

(iii) Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt.

Teilaufgabe b)

(1)

(i) Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I und II gewählt wurden.

(2)

Die Bedingungen liefern $z \approx 3{,}9428$.

(i) Bestimmen Sie für $z = 3{,}9428$ rechnerisch die Gleichung der Funktion $t$, deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z|f(z))$ darstellt.

(ii) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $t$.

Teilaufgabe c)

(1)

Begründen Sie, dass jeder Graph der Schar $g_k$ die $x$-Achse in nur einem Punkt schneidet.

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch, abhängig von $k$, die Koordinaten sowie die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_k$.

(3)

Die Funktion $h$ ist gegeben durch $h(x) = \frac{4}{e \cdot (x-3)}$ für $x \in \mathbb{R}, x \neq 3$.

(i) Weisen Sie nach, dass sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar $g_k$ auf dem Graphen von $h$ liegen.

(ii) Geben Sie einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_k$ mit $k > 0$ ist.

(5)

Die Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ haben außer $N(3|0)$ nur noch den Schnittpunkt $S$.

(i) Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$.

(ii) Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3.

(6)

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ in Abbildung 3 dargestellt.

Begründen Sie mithilfe des Hochpunktes und ohne zusätzliche Berechnung, ob $a$ größer oder kleiner als $1{,}5$ ist.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=9\cdot (x-3)\cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)},\ x\in \mathbb{R}$. In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ zu sehen.

Für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 3{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche 4 Flächeneinheiten groß ist:

$$\begin{aligned}\text{I: } & t(z)=f(z) \\ \text{II: } & t'(z)=f'(z) \\ \text{III: } & \int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4, \text{ wobei } c \text{ die Nullstelle von } t \text{ ist.}\end{aligned}$$

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung $$g_k(x)=4\cdot k^2\cdot (x-3)\cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)},\ x\in \mathbb{R}.$$ Es gilt $g_{1{,}5}=f$. In Abbildung 3 sind die Graphen von $g_{1{,}5}$ sowie $g_a$ (für einen Parameterwert $a > 0$) dargestellt.

a) (2)

Eine Fläche wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse sowie der Geraden mit der Gleichung $x = 7$ begrenzt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt.

a) (3)

Geben Sie an, welchen Wert $\displaystyle\int_3^w f(x)\,\mathrm{d}x$ für $w \to \infty$ annimmt, und welche geometrische Bedeutung dieser Wert hat.

b) (1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III aussagt:$$\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$$

c) (4)

Für $x \ge 3$ schließen die $x$-Achse und der Graph der Funktion $g_k$ eine nach rechts unbegrenzte Fläche $A$ ein.

Prüfen Sie rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ von $k$ abhängig ist.

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für dessen Längsschnitt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse modelliert.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a) (1)

Begründen Sie, weshalb für sämtliche $x \in \mathbb{R}$ die Gleichung $f(x)=f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diese Eigenschaft geometrisch.

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für dessen Längsschnitt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse modelliert.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

(2) Ermitteln Sie durch Rechnung, welchen Höhenunterschied der höchste und der tiefste Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 zueinander haben. [4 Punkte]

(3) Zeigen Sie, dass die obere Randlinie von Element E2 knickfrei an die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 anschließt. [2 Punkte]

(4) Aus Sicherheitsgründen soll an der steilsten Stelle der Bahn der Betrag der Steigung höchstens 0,85 sein.

Zeigen Sie, dass diese Vorgabe beim Element E2 eingehalten wird. [3 Punkte]

e)

Der Abschnitt E3 wird schließlich mit einer Länge von $d = 7{,}5\text{ m}$ gebaut.

Eine Kamera soll in einer Höhe von $5\text{ m}$ über der unteren Randlinie von E3 befestigt werden, um die Fahrten der Skater auf E3 zu filmen. Die Position der Kamera wird vereinfacht durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ dargestellt.

(1) Ermitteln Sie den Wert von $x_K$, für den die Punkte $B$ und $C$ gleich weit von $K$ entfernt sind. [4 Punkte]

(2) Bestimmen Sie die minimale Entfernung des Punktes $K(8{,}49 \mid 5)$ vom Graphen von $g$. [4 Punkte]

f)

In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 vergleichbar gebaut werden, allerdings soll der Streckenverlauf in diesem Abschnitt steiler sein. Zur Modellierung dient hier eine Funktion $h_u$ mit

$$h_u(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

(1) Zeigen Sie, dass $h_u'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_u'$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f'$ übereinstimmen. [3 Punkte]

(2) Ermitteln Sie den Wert von $u$, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ hat. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für dessen Längsschnitt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse modelliert.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die obere Randlinie von Element E3 soll eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades als Modell dienen. Ihr Graph soll im Punkt $B$ denselben Funktionswert und dieselbe Steigung wie der Graph von $f$ besitzen (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 liegt dabei in einer horizontalen Entfernung von $3{,}6\text{ m}$ vom Punkt $B$.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$.

$g(x) =$

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für dessen Längsschnitt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse modelliert.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Dieser verursacht Materialkosten von 176 € pro m³. Die Skatebahn ist durchgehend 5 m breit.

b)

Ermitteln Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen. [3 Punkte]

€

Legen Sie im weiteren Verlauf für die Modellierung von E3 die folgende Gleichung zugrunde:

$$g(x) = \frac{11}{150}(x-8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$$

d) (1)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten von 10 800 € eingeplant.

(i)

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ des Elements E3 bestimmen lässt, für die Materialkosten von 10 800 € entstehen. [2 Punkte]

Die Gleichung liefert als Lösung die Länge $d \approx 8{,}24\,\text{m}$.

(ii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn die Länge von E4 fest 1,5 m beträgt. [2 Punkte]

[Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 liegen bei etwa 3 500 €.]

€

d) (2)

Das Architekturbüro erhält die Vorgabe, dass bei den beiden Elementen E3 und E4 insgesamt nur Materialkosten von 12 000 € anfallen dürfen.

(i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten. [2 Punkte]

%

(ii)

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst, während E4 weiterhin 1,5 m lang bleibt.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 bestimmen lässt, bei der E3 und E4 zusammen genau 12 000 € Materialkosten verursachen.

[Hinweis: Die Gleichung braucht nicht gelöst zu werden.] [2 Punkte]

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie der Punkt $G(0|0|146)$ gegeben.

Abbildung 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_a(0|0|a)$ gegeben.

Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400$ VE.

Für den Neubau eines Wolkenkratzers entwirft ein Architekturbüro ein Modell in Form des Körpers mit den Eckpunkten $ABCGEF$; dabei steht im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

Zur Kontrolle: $b = -584$.

Über der Dachfläche ist eine Fläche mit Solarkollektoren vorgesehen, die in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene liegt (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt 2,5 m.

Zugelassene Hilfsmittel

CAS (Computer-Algebra-System)

Mathematische Formelsammlung

Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

Herkunftssprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Herkunftssprache nicht Deutsch ist

b)(2)

Stellen Sie sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ in Parameterform dar.

b)(3)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Auf dem letzten Flugabschnitt bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix},\; k \in \mathbb{R},$$

beschrieben werden kann.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $GEF$ enthält.

c)(1)

Durch $E_b: 3 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 = b,\; b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

$b =$

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie der Punkt $G(0|0|146)$ gegeben.

Abbildung 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_a(0|0|a)$ gegeben.

Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400$ VE.

Für den Neubau eines Wolkenkratzers entwirft ein Architekturbüro ein Modell in Form des Körpers mit den Eckpunkten $ABCGEF$; dabei steht im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

Zur Kontrolle: $b = -584$.

Über der Dachfläche ist eine Fläche mit Solarkollektoren vorgesehen, die in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene liegt (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt 2,5 m.

Zugelassene Hilfsmittel

CAS (Computer-Algebra-System)

Mathematische Formelsammlung

Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

Herkunftssprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Herkunftssprache nicht Deutsch ist

a)(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $B$ an.

$B($

$|$

$|$

$)$

a)(2)

Gegeben ist für $a \ge 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$.

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_a EF$ bei jedem $a \ge 0$ am Punkt $E$ einen rechten Winkel besitzt.

a)(3)

Bestimmen Sie den Wert $0 \le a \le 246$, für den das Dreieck $G_a EF$ einen Flächeninhalt von $780 \cdot \sqrt{41}\;\text{FE}$ besitzt.

$a =$

a)(4)

Setzt man $a = 246$, so ergibt sich $G_a = D$. Das Dreieck $DEF$ besitzt den Flächeninhalt $2400\;\text{FE}$.

Bestimmen Sie das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

b)(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\;\text{m}$ auf $146\;\text{m}$ gekürzt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ durch diese Kürzung kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

$\%$

c)(2)

Berechnen Sie den Winkel, den $E_{\text{Dach}}$ mit der Ebene $E_{\text{Wand}}$ einschließt, welche die Wandfläche $BCFE$ enthält.

$\alpha \approx$

$^\circ$

c)(3)

Über dem Dach soll in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene eine Solarkollektorfläche angebracht werden (siehe Abbildung 2).

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt $2{,}5\;\text{m}$.

Bestimmen Sie rechnerisch die $x_3$-Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P(0 | 100 | z)$.

$z \approx$

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie besonders hohen Ansprüchen genügen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die darauf folgende Beschichtung von guter Qualität sind.

a) In der Produktion werden regelmäßig Schrauben hergestellt, die die Qualitätsanforderungen von „Schraubenwind“ nicht erfüllen. Bei $97\,\%$ der Schrauben ist der Schraubenkörper fehlerfrei. Unter den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper ist bei $1{,}5\,\%$ die Beschichtung fehlerhaft. Unter den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper weisen $5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung auf.

(1)

Stellen Sie die geschilderte Situation im nachstehenden Baumdiagramm dar.

(2)

Bei einer zufällig entnommenen Schraube ist die Beschichtung fehlerhaft.

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie besonders hohen Ansprüchen genügen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die darauf folgende Beschichtung von guter Qualität sind.

Teilaufgabe b)

(1)

Aus der Produktion werden für eine Untersuchung zufällig $500$ Schrauben entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $15$ dieser Schrauben fehlerhaft sind. [2 Punkte]

(2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens $200$ davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\ \%$ fehlerfrei sind. [3 Punkte]

Teilaufgabe c)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

(1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die produziert werden muss, damit in dieser Produktion der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben mindestens $5000$ beträgt. [2 Punkte]

(2)

Produziert werden $5236$ Schrauben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben dieser Produktion den Bedarf von „Wind 24“ deckt. [2 Punkte]

Teilaufgabe e)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\text{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ (beides in $\mu\text{m}$) beschreiben.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schichtdicke (in $\mu\text{m}$) einer zufällig gewählten Schraube im Bereich zwischen $7{,}5$ und $8{,}5$ liegt. [2 Punkte]

(2)

Hat eine Normalverteilung die Dichtefunktion $\varphi$, so heißt die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\,\mathrm{d}t$ ihre Verteilungsfunktion.

Abbildung 1 zeigt die Dichtefunktion einer Normalverteilung, Abbildung 2 die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung.

Entscheiden Sie zu jeder der beiden Abbildungen begründet, ob die dargestellte Normalverteilung die Parameter $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ haben kann. [4 Punkte]

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen verwendet werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie besonders hohen Ansprüchen genügen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die darauf folgende Beschichtung von guter Qualität sind.

„Wind 24" reklamiert bei „Schraubenwind", die Güte der gelieferten Schrauben sei deutlich schlechter geworden: Etwa 8 % der Lieferung seien defekt. „Schraubenwind" will der Reklamation nachgehen und prüft dazu 200 Schrauben, die der laufenden Produktion zufällig entnommen werden. Da „Wind 24" der bedeutendste Abnehmer von „Schraubenwind" ist, möchte die Firmenleitung die Wahrscheinlichkeit begrenzen, die Beschwerde von „Wind 24" abzulehnen, obwohl der Anteil fehlerhafter Schrauben tatsächlich 8 % beträgt. Dafür wird ein Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt.

(1)

Bestimmen Sie für den beschriebenen Hypothesentest eine Entscheidungsregel.

(2)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24" nicht zurückweist, wenn die Fehlerquote der Produktion weiterhin nur 4,5 % beträgt.

%

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung $$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \text{ mit } a \in \mathbb{R}.$$ besitzt. Alle zugehörigen Graphen liegen symmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a)

(1)

Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle besitzt, und geben Sie zudem den Grenzwert von $f_1$ für $x \to \infty$ an.

(2)

In Abbildung 1 ist der Graph von $f_1$ dargestellt, das zugehörige Koordinatensystem fehlt jedoch.

Zeichnen Sie die Koordinatenachsen samt passender Skalierung in die Abbildung ein.

b)

Der Graph von $f_0$ stellt eine Gerade dar.

Geben Sie sowohl die Steigung dieser Geraden als auch die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der $y$-Achse an.

e)

(1)

Für alle reellen Zahlen $a$, $a_1$ und $a_2$ gelten die nachstehenden Aussagen:

I) $f_a(0) = 0$

II) $f_{a_1}'(0) = f_{a_2}'(0)$

III) $f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \Leftrightarrow a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, welche Schlussfolgerungen diese Aussagen für den Verlauf der Graphen der Schar zulassen.

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung $$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \text{ mit } a \in \mathbb{R}.$$ besitzt. Alle zugehörigen Graphen liegen symmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

c)

Der Punkt $P(1|e)$ gehört bei einem bestimmten Wert von $a$ zum Graphen von $f_a$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ sowie die Tangentensteigung des Graphen von $f_a$ im Punkt $P$.

e)

(2)

Für jedes $a \neq 0$ sind die Wendestellen von $f_a$ genau die Lösungen der Gleichung $(a \cdot x^2 - 3) \cdot x = 0$.

Geben Sie für sämtliche Werte von $a \in \mathbb{R}$ die Anzahl der Wendestellen von $f_a$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3)

Sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar befinden sich auf einer Geraden.

Begründen Sie, dass diese Gerade die Gleichung $y = x$ hat.

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung $$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \text{ mit } a \in \mathbb{R}.$$ besitzt. Alle zugehörigen Graphen liegen symmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a) (3)

Interpretieren Sie die nachstehende Aussage in geometrischer Hinsicht:

Für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt:

$$F_1(u) - F_1(0) \approx \int_{0}^{2022} f_1(x)\,\mathrm{d}x.$$

d)

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass $\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x$ gilt.