Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Teilaufgabe a)

a)(1)

Begründen Sie, weshalb die Funktion $f$ lediglich eine einzige Nullstelle hat. [2 Punkte]

a)(2)

Untersuchen Sie den Graphen von $f$ mithilfe einer Rechnung auf lokale Extrempunkte. [5 Punkte]

$x =$

$y =$

a)(3)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten. [2 Punkte]

$x =$

$y =$

a)(4)

Ermitteln Sie die Stellen im Intervall $[0; 6]$, an denen der Graph von $f$ jeweils seine größte und seine kleinste Steigung besitzt. [3 Punkte]

$x =$

$x =$

Teilaufgabe b)(2)

Für jedes $0 < u \le 6$ sind $O(0 \mid 0)$, $P(6 \mid 0)$ und $Q_u(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

b)(2)(i)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $OPQ_u$ für $u = 2$ ein. [1 Punkt]

b)(2)(ii)

Begründen Sie, dass man den Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{OPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ berechnen kann. [2 Punkte]

b)(2)(iii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ am größten ist. [2 Punkte]

$u =$

b)(2)(iv)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, für die der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt. [2 Punkte]

$u_1 \approx$

$u_2 \approx$

Teilaufgabe c)

Für ein $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$-Achse die schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

c)(1)(i)

Begründen Sie, warum die Bedingungen I und II gewählt werden. [2 Punkte]

c)(2)

Aus den Bedingungen folgt $z \approx 0{,}9428$. [Nachweis nicht erforderlich.]

(i)

Bestimmen Sie für $z = 0{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph im Punkt $R(z \mid f(z))$ den Graphen von $f$ tangiert. [3 Punkte]

(ii)

Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$. [1 Punkt]

$c \approx$

Teilaufgabe d)

Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j(x) = 4 \cdot k^2 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ für $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

Setzt man $k = 1{,}5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$.

Setzt man $k = 2{,}6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x) = 4 \cdot 2{,}6^2 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-2{,}6 \cdot x}$.

d)(1)(i)

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ haben nur den Koordinatenursprung und einen weiteren Punkt $S$ gemeinsam. Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ sowie des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$. [2 Punkte]

$x \approx$

$y \approx$

$x =$

$y =$

d)(1)(ii)

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g$ in Abbildung 3. [3 Punkte]

d)(2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ liefert der Funktionsterm von $j$ den Term der Funktion $h$, deren Graph in Abbildung 3 abgebildet ist. Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses $k$ an. [1 Punkt]

$k \approx$