Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

c) Bestimmen Sie diesen Wert von $a$

Lösung: -1

c) sowie die Tangentensteigung des Graphen von $f_a$ im Punkt $P$.

Lösung: $2e$ / $2\cdot e$

e) (2) Geben Sie für sämtliche Werte von $a \in \mathbb{R}$ die Anzahl der Wendestellen von $f_a$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

Lösung: Für $a = 0$ gilt: Da der Graph von $f_0$ eine Gerade ist, hat $f_0$ keine Wendestellen. Für $a \neq 0$ gilt: $(a \cdot x^2 - 3) \cdot x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x^2 = \frac{3}{a}$. Für $a < 0$ hat die Gleichung nur die Lösung $x = 0$, daher hat $f_a$ in diesem Fall eine Wendestelle. Für $a > 0$ hat die Gleichung drei Lösungen ($x = 0$ sowie $x = \pm\sqrt{\frac{3}{a}}$), daher hat $f_a$ in diesem Fall drei Wendestellen.

e) (3) Begründen Sie, dass diese Gerade die Gleichung $y = x$ hat.

Lösung: Da der Graph von $f_1$ über den Hochpunkt $H_1(1|1)$ und – aufgrund der Symmetrie zum Ursprung – den Tiefpunkt $T_1(-1|-1)$ verfügt, muss die Gerade durch diese beiden Punkte verlaufen. Dies ist nur für die Gerade mit der Gleichung $y = x$ der Fall.