Aufgabe B1 - Teilaufgabe b(3) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einer Motorsportveranstaltung an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich bewältigen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$

beschrieben. Dabei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die Momentangeschwindigkeit des jeweiligen Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem ein Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei mit $f$ bezeichnet.

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

b) (3)

Mit $F(t)$ soll die Strecke beschrieben werden, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei muss die Funktion $F$ die Bedingung $F'(t) = f(t)$ erfüllen.

(i) Begründen Sie, warum die Bedingung $F'(t) = f(t)$ allein die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt.

(ii) Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an, die $F$ neben $F'(t) = f(t)$ erfüllen muss, damit $F$ durch beide Bedingungen zusammen eindeutig bestimmt ist.