Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und die Funktionsgleichung

$$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Alle Graphen dieser Schar verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einzelne Scharfunktionen untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

c)

Der Punkt $P(1|e)$ gehört für einen bestimmten Wert von $a$ zum Graphen von $f_a$. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ sowie die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $P$.

e)

(2) Für jedes $a \neq 0$ sind die Wendestellen von $f_a$ genau die Lösungen der Gleichung $(a \cdot x^2 - 3) \cdot x = 0$. Geben Sie an, wie viele Wendestellen $f_a$ für alle Werte $a \in \mathbb{R}$ besitzt, und begründen Sie Ihre Angabe.

(3) Sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar befinden sich auf einer Geraden. Begründen Sie, dass diese Gerade die Gleichung $y = x$ hat.