Aufgabe B3 - Metrische Geometrie · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie $G(0|0|146)$.

Abbildung 1

Bei dem Körper $ABCDEF$, der in Abbildung 1 zu sehen ist, handelt es sich um ein dreieckiges Prisma.

Für $a \geq 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ betrachtet.

Ein Architekturbüro entwirft einen neuen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

In einer Ebene parallel zur Dachfläche $GEF$ soll oberhalb des Dachs eine Solarkollektorfläche angebracht werden (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt 2,5 m.

Teilaufgabe a

(1)

(2)

Gegeben ist für $a \ge 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$.

Zeigen Sie, dass bei $E$ für jedes $a \ge 0$ ein rechter Winkel im Dreieck $G_aEF$ vorliegt.

(3)

(4)

Setzt man $a = 246$, so ist $G_a = D$. Das Dreieck $DEF$ besitzt den Flächeninhalt $2400\text{ FE}$.

Teilaufgabe b

(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ verkürzt.

%

Teilaufgabe c

(2)

°

(3)

Über dem Dach soll eine Solarkollektorfläche in einer Ebene angebracht werden, die parallel zur Dachfläche $GEF$ liegt (siehe Abbildung 2).

Ihr Abstand zur Dachfläche $GEF$ beträgt $2{,}5\text{ m}$.