Aufgabe MMS 2 · 2 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Anzahl der Wendestellen von $f_a$ für $a < 0$

Lösung: 1

Anzahl der Wendestellen von $f_a$ für $a = 0$

Lösung: 0

Anzahl der Wendestellen von $f_a$ für $a > 0$

Lösung: 3

Begründung für die Anzahl der Wendestellen

Lösung: Für $a = 0$ ist der Graph von $f_a$ eine Gerade, d. h. $f_a$ hat keine Wendestelle. Für $a \neq 0$ gilt $(a \cdot x^2 - 3) \cdot x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x^2 = \frac{3}{a}$. Damit ergibt sich: - Für $a < 0$ hat die gegebene Gleichung genau eine Lösung, d. h. $f_a$ genau eine Wendestelle. - Für $a > 0$ hat die gegebene Gleichung genau drei Lösungen, d. h. $f_a$ genau drei Wendestellen.

e) Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt.

Lösung: Der Graph von $f_1$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs und hat den Hochpunkt $(1\mid 1)$ (sowie den Tiefpunkt $(-1\mid -1)$). Aus der Streckungseigenschaft (Aufgabe 2b) bzw. allgemein $f_a'(x) = (1 - ax^2)e^{-\frac{1}{2}ax^2+\frac{1}{2}} = 0 \Rightarrow x_E = \pm\frac{1}{\sqrt{a}}$ folgt $y_E = f_a(x_E) = x_E$. Somit liegen alle Extrempunkte auf der Geraden $y = x$.

f) Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a$, für den das Viereck den Flächeninhalt $144$ hat.

Lösung: $\frac{1}{256}$