Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2022

a Die Ebene L enthält die Punkte C, G und F. Geben Sie eine Gleichung von L in Parameterform an und zeigen Sie, dass auch S in L liegt.

Lösung: $$L: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \quad (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$$ Punktprobe für $S(4|4|12)$: $$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Aus Zeile I folgt $\mu = 1$, aus Zeile II folgt $\lambda = 1$. Einsetzen in Zeile III ergibt $0 + 6(1) + 6(1) = 12$ (wahre Aussage). Folglich liegt $S$ in $L$.