Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Modellierung eines Skateparks

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Längsschnitt dieses Abschnitts nach dem Entwurf des Architekten.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4 als äußere Elemente sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die beiden ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse dargestellt.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mithilfe der Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Er verursacht Materialkosten von $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Berechnen Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen.

[4 Punkte]

Legen Sie im weiteren Verlauf für die Modellierung von E3 folgende Gleichung zugrunde:

$$g(x) = \frac{11}{150}(x-8{,}4)^2 + \frac{132}{125}.$$

d) (1) (i)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit deren Hilfe sich die Länge $d$ des Elements E3 bestimmen lässt, bei der die Materialkosten $10\,800\text{ €}$ betragen.

[2 Punkte]

Die Gleichung liefert als Lösung eine Länge von $d \approx 8{,}24\text{ [m]}$.

d) (1) (ii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn die Länge von E4 fest $1{,}5\text{ m}$ beträgt.

[2 Punkte]

d) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 insgesamt höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst, während E4 weiterhin $1{,}5\text{ m}$ lang bleibt.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 ermitteln lässt, sodass E3 und E4 zusammen Materialkosten von genau $12\,000\text{ €}$ verursachen.

[Hinweis: Die Gleichung braucht nicht gelöst zu werden.]

[2 Punkte]