Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Traditionell misst die Strecke eine Viertel- oder Achtelmeile. Die dafür eingesetzten Fahrzeuge, sogenannte Dragster, erreichen Leistungen von bis zu mehreren tausend PS bzw. kW.

Die Geschwindigkeit eines solchen Dragsters während eines Rennens wird in der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$. Diese lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

a) (4)

Die Funktion $F(t)$ soll die Strecke beschreiben, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei muss für $F$ die Bedingung $F'(t) = f(t)$ erfüllt sein.

(i) Begründen Sie, warum die Bedingung $F'(t) = f(t)$ allein die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt.

(ii) Geben Sie eine weitere Bedingung an, die $F$ zusätzlich zu $F'(t) = f(t)$ erfüllen muss, damit $F$ durch beide Bedingungen eindeutig bestimmt ist.

b)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Dragster-Starts befindet es sich unmittelbar neben diesem. Die Funktion $g$ modelliert die konstante Geschwindigkeit des Kamerafahrzeugs; dabei ist $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters und $g(t)$ die Geschwindigkeit.

(1) Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) ein und ermitteln Sie, für welche Dauer das Kamerafahrzeug in den ersten sechs Sekunden eine höhere Geschwindigkeit als der Dragster hat.

(2) Geben Sie an, welche Strecke das Kamerafahrzeug in den ersten vier Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(3) Nach diesen Modellierungen legen das Kamerafahrzeug und der Dragster in den ersten vier Sekunden nach dem Start etwa gleich lange Strecken zurück.

Begründen Sie dies mithilfe von Abbildung 1.

(4) Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_0^1 (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

c)

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Hat der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, behält er diese noch zwei weitere Sekunden bei. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1) Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit in Abbildung 2 grafisch dar.

Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert.

[Zur Kontrolle: Etwa 6,9 Sekunden nach dem Start überquert der Dragster die Ziellinie.]

Acht Sekunden nach dem Start leitet der Fahrer den Bremsvorgang ein. Von da an beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach $20\text{ Sekunden}$ steht der Dragster still.

(2) Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs in Abbildung 2 grafisch dar.

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Funktion $b$.

(3) Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ mit einer Länge von $805\text{ Metern}$ an. Zeigen Sie, dass der Dragster innerhalb dieser Zone anhält.