Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2022

Betrachtet wird der Stumpf $ABCDEFGH$ der schiefen Pyramide $ABCDS$. Die Grundfläche $ABCD$ mit $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ sowie die Deckfläche des Stumpfs mit $E(3|0|4)$, $F(3|3|4)$, $G(0|3|4)$ und $H(0|0|4)$ sind quadratisch.

Der Mittelpunkt $M$ der Kante $\overline{AB}$ und der Mittelpunkt $N$ der Kante $\overline{CG}$ liegen auf der Gerade$$j: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \text{mit } \mu \in \mathbb{R}.$$

Die Punkte der Kante $\overline{BC}$ lassen sich in der Form $P_w(w|4|0)$ darstellen.

a)

Zeichnen Sie den Stumpf in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.

c)

Bestimmen Sie das Volumen des Stumpfs.

f)

Es gibt Punkte $P_w$ der Kante $\overline{BC}$, für die der von den Strecken $\overline{P_wM}$ und $\overline{P_wH}$ eingeschlossene Winkel größer als $70^\circ$ ist. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von $w$.