Aufgabe B1 - Teilaufgabe b(1)-(2) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einer Motorsportveranstaltung an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich bewältigen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$

beschrieben. Dabei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die Momentangeschwindigkeit des jeweiligen Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem ein Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei mit $f$ bezeichnet.

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

b) (1)

(i) Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extrema besitzt.

(ii) Geben Sie an, welche Höchstgeschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: Für die Maximalstelle von $f$ gilt $t_{\max} = 6$.]

s

m/s

(2)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert annimmt.