Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2022

Ein Element eines Klettergartens ist eine ebene, viereckige Kletterwand. In einem Koordinatensystem können die Eckpunkte der Kletterwand durch die Punkte $A(6|7|4)$, $B(10|5|5)$, $C(9|5{,}5|8)$ und $D(5|7{,}5|7)$ beschrieben werden. Die $x_1x_2$-Ebene stellt den horizontalen Boden dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a

Weisen Sie nach, dass die Kletterwand die Form eines Parallelogramms hat, aber nicht rechteckig ist.

[3 BE]

b

Zeigen Sie, dass die Kletterwand vertikal ausgerichtet ist.

[3 BE]

c

Auf der Kletterwand verläuft eine horizontale Linie, die im Modell den Punkt $D$ enthält. Diese Linie teilt die Wand in zwei Teile. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des unteren Teils größer ist als der des oberen Teils.

[3 BE]

Ein anderes Element des Klettergartens ist ein Stahlseil, das zwischen zwei vertikal stehenden, acht Meter hohen Masten gespannt ist. Der Fußpunkt des ersten Masts wird durch $F_1(0|0|0)$ dargestellt, der Fußpunkt des zweiten Masts durch $F_2(2{,}5|6|0)$. Das Seil ist am ersten Mast in einer Höhe von $6\text{ m}$ befestigt, am zweiten Mast in einer Höhe von $4{,}7\text{ m}$. Es soll davon ausgegangen werden, dass das Seil geradlinig verläuft.

d

Stellen Sie die beiden Masten und das Seil in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar.

[3 BE]

e

Bestimmen Sie die Neigung des Seils zwischen den beiden Masten in Prozent.

[3 BE]

%

f

Über das bisher betrachtete Seil hinweg ist ein zweites Stahlseil gespannt. Dieses obere Seil verläuft im Modell entlang der Gerade

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Ein Punkt des oberen Seils liegt vertikal über einem Punkt des unteren Seils. Ermitteln Sie den Abstand dieser beiden Punkte.

[5 BE]