Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2023

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke 4 cm verwendet. Eine Masse von $0{,}75\text{ g}$ besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt des Seitenteils einer solchen Liege. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktion $g$, durch deren Graph der obere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für 40 cm.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich günstiger ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

c) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung für die Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

$y =$

c) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür nötigen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt ungefähr $1{,}25\text{ FE}$.]

FE

c) (3)

Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.