Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2023

Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein $15\text{ m}$ hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung 1 ist eine der Werbeflächen grau dargestellt. Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von $80\text{ cm}$; er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.

In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte $A(5|-2|11)$, $E(-2|5|15)$ und $F(-2|-2|15)$ stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.

Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt. Die obere Kante der Mauer wird im Modell durch die Strecke zwischen den Punkten $P(20|-5|3)$ und $Q(20|25|3)$ dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch $K(24|15|1)$ beschrieben. Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck $GBH$ mit $G(4|-1|11)$ dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung 2).

Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird im Modell durch Punkte der Form $(32 - 8t \mid 5 \mid -5t^2 + 6{,}5t + 0{,}3)$ mit $t \in \mathbb{R}^+$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.

a)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche. Prüfen Sie, ob die beiden anderen Werbeflächen einen rechten Winkel einschließen.

Ja

Nein

c)

Begründen Sie, dass der Abstand der grau dargestellten Werbefläche zum Mast mit dem Abstand des Mittelpunkts der oberen Kante dieser Werbefläche zum Mast übereinstimmt.

d)

Eine Sichtlinie verläuft im Modell von $K$ zu $G$. Berechnen Sie die Größe des Winkels dieser Sichtlinie gegenüber der Horizontalen.