Aufgabe B2 - Transformationen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege dargestellt, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes hat die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand durch den Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand durch den Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Es gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

e)

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $f$ mit $$f(x) = g(k\cdot x) = \frac{2}{3}(k\cdot x)^3 - 3(k\cdot x)^2 + 4(k\cdot x) - 0{,}7,\quad x \in \mathbb{R}.$$ Durch die Wahl eines passenden Wertes von $k$ für die Funktion $f$ soll die Liegefläche einer Kinderliege beschrieben werden.

Begründen Sie, warum Werte von $k < 1$ dafür nicht geeignet sind.