Aufgabe 1 (WTR 2) - Längen, Winkel und Abstände i… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2023

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Begründen Sie, dass die Kante EF parallel zur Grundfläche liegt.

Lösung: Es gilt $\vec{AB} = \begin{pmatrix} -10 \\ 7{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{AC} = \begin{pmatrix} -10 \\ -7{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}$, d. h. $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$. Die Grundfläche liegt in der $x_1x_2$-Ebene, E und F haben die gleiche $x_3$-Koordinate.

c) Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die x3-Achse die Ebene L schneidet.

Lösung: $76^\circ$

d) Berechnen Sie die Koordinaten von S.

Lösung: $S(0|0|5)$

e) Begründen Sie, dass der Abstand von S zur Ebene L kleiner als 2 ist, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 2.

Lösung: Der Abstand von S zu L ist kleiner als der Abstand von S zu M und der Abstand von S zu M ist 2.

f) Geben Sie diesen Graphen an

Lösung: Graph II

f) Begründen Sie Ihre Angabe.

Lösung: Das Volumen des Körpers $\text{ABCD}_t\text{EF}$ erhält man, indem man vom konstanten Volumen der Pyramide ABCS das Volumen der Pyramide $\text{EFSD}_t$ subtrahiert. Letzteres kann mit dem Term $\frac{1}{3} \cdot A_{\text{EFS}} \cdot (8-8t)$ berechnet werden, wobei $A_{\text{EFS}}$ der konstante Flächeninhalt des Dreiecks EFS ist. Damit nimmt das Volumen des Körpers $\text{ABCD}_t\text{EF}$ mit wachsenden Werten von $t$ linear zu.

Begründen Sie, dass der Abstand von S zur Ebene L kleiner als 2 ist, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 2.

Lösung: Strecke von S senkrecht auf die Verbindungsstrecke DM einzeichnen (Lot von S auf DM bzw. die Ebene L); vergleichen mit der vertikalen Strecke der Länge 2 (Differenz der x3-Werte zwischen S und M)