Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor; lediglich die Abfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der oben genannten Reihenfolge aus, ergibt sich der Graph der betrachteten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14.$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort dar, beginnend an einem bestimmten Tag des Kalenderjahres.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\ a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Teilaufgabe a) (2)

Für jedes $b \in \mathbb{R}$, $b > 0$, gilt $\int_{-b}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$. Erklären Sie dieses Ergebnis.

Teilaufgabe a) (5)(i)

Außer dem Punkt $P$ besitzen die Tangente $t$ und $G_f$ nur noch den gemeinsamen Punkt $Q(-12 \mid f(-12))$.

Geben Sie die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x) = f(x) - \left(\frac{8}{3}x - 16\right)$ an und berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von $G_f$ und $t$ eingeschlossen wird.

Teilaufgabe a) (5)(ii)

Die $y$-Achse teilt die Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, in zwei Teilflächen.

Ermitteln Sie, welchen Anteil die linke Teilfläche an der gesamten Fläche zwischen $G_f$ und $t$ hat.