Aufgabe MMS 1 - 3 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Aufgabe 3

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ beschreibt für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$.

b

Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.

d

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(1 \mid w(1))$ wird durch die Gleichung $y = t(x)$ dargestellt. Interpretieren Sie die folgende Aussage im Sachzusammenhang: Für alle Werte von $x \in [0{,}7; 1{,}4]$ gilt $\left|\frac{t(x)-w(x)}{w(x)}\right| < 0{,}05$.