Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabenstellung

Mitarbeitende eines Instituts für Tourismus befragten repräsentativ 10 000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gefahren waren.

Das Ergebnis: 26 % der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei 16 % davon reiste man mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) nutzten 10 % der Reisenden zur Anreise die Bahn.

Diese Prozentwerte sollen im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse gelten.

Zusätzlich zur Befragung sollen Interviews stattfinden. Hierfür werden zufällig 20 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen herausgegriffen und die Befragten interviewt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele der 20 Urlaubsreisen Inlandsreisen sind.

b) (1)

Erläutern Sie, aus welchem Grund man $P(X = k)$ für $0 \le k \le 20$ näherungsweise mithilfe einer Binomialverteilung berechnen darf. [2 Punkte]

b) (2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind. [2 Punkte]

b) (3)

Bestimmen Sie bezogen auf die 20 Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Inlandsreisen innerhalb der $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt. [4 Punkte]

c)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Fragebögen, die ausgewählt werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\ \%$ mindestens fünf der Fragebögen eine Auslandsreise angeben. [3 Punkte]