Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Dabei besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktionen $g$ und $h$, durch deren Graphen der obere und untere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2 x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Regel liegt man so auf der Liege, dass – im Längsschnitt betrachtet – die Kniekehlen etwa an dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa an dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen (zweite Bedingung).

Teilaufgabe a

a) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von $g$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $x = 1$ und $x = 2$.]

$H($

$\mid$

$)$

$T($

$\mid$

$)$

a) (2)

Berechnen Sie die Entfernung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt.

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung des Graphen von $g$ an der Wendestelle, ohne dabei Werte oder Zusammenhänge zu nutzen, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden.

a) (4)

Eine Person mit der Körpergröße $172\text{ cm}$ hat im Durchschnitt einen Oberschenkel der Länge $40\text{ cm}$.

Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen für Bequemlichkeit erfüllt.

Teilaufgabe c

Am Seitenteil wird eine Leiste $v$ parallel zur $y$-Achse befestigt (siehe Abbildung 3). Sie soll an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ sitzen, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie den maximalen vertikalen Abstand zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils.

Teilaufgabe d

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2 x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

d) (1)

Bestimmen Sie rechnerisch in Abhängigkeit von $k$ die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von $g_k$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen von $g_k$ sind $x = \frac{1}{k}$ und $x = \frac{2}{k}$.]

d) (2)

Bestimmen Sie $k$ so, dass die Liegefläche, modelliert mit $g_k$, die erste Bedingung für Bequemlichkeit bei einem zehnjährigen Kind mit Körpergröße $140\text{ cm}$ und einer Oberschenkellänge von ca. $30\text{ cm}$ erfüllt.

d) (3)

Erläutern Sie, auf welche Weise die Werte von $k$ verändert werden müssen, damit die mit $g_k$ modellierte Liegefläche für große bzw. kleine Menschen geeignet ist.

d) (4)

Zeigen Sie, dass bei $g_k$ die Steigung an der Wendestelle nicht von $k$ abhängt und dass jede mit einer Funktion $g_k$ modellierte Liege die zweite Bedingung für Bequemlichkeit erfüllt.