Aufgabe B3 - Geraden, Ebenen und Schattenwurf · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen parallel zur $x_1x_3$-Ebene.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50|-5|0)$

$A_2(50|5|0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|5\middle|0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|-5\middle|0\right)$

$B_2(10|5|30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|5\middle|30\right)$

Ein Architekturbüro nutzt den Körper $K$ in einem mathematischen Modell für die Planung eines neuen Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen in der 1. bis 9. Etage Balkone erhalten. Abbildung 2 zeigt beispielhaft den Boden des Balkons der 3. Etage.

Im Modell steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Das Hotel besteht aus drei gleich geformten Gebäuden. Gebäude I wird durch den Körper $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I durch je eine Drehung um $120^\circ$ (siehe Abbildung 4). Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 5 ist das Hotelmodell in der Draufsicht zu sehen:

b)

Durch $E_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50-a \\ 5 \\ 0{,}75\cdot a \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $a\in\mathbb{R}$, $r,s\in\mathbb{R}$, beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Im Weiteren wird der Boden eines jeden Balkons als Fläche in einer passenden Ebene dieser Schar modelliert. So liegt etwa der Boden des Balkons der 3. Etage in der Ebene $E_{12}$.

(1) Zeigen Sie: Der Punkt $(50-a \mid 5 \mid 0{,}75\cdot a)$ liegt für alle $a$ mit $0 \le a \le 40$ auf der Strecke $\overline{A_2B_2}$.

(2) Sämtliche Punkte der Bodenfläche des Balkons der 3. Etage werden durch die Parametergleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 38 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad 0\le r\le 1,\ 0\le s\le 3,$$

erfasst.

Der Balkon ruht, wie in Abbildung 3 zu sehen, auf den zwei senkrechten Stützen $s_1$ und $s_2$.

Berechnen Sie die Länge der Stütze $s_1$.

d)

(1) Stellen Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene $F$ auf, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

[Zur Überprüfung: $F: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_3 = 150$.]

(2) Mitten im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0\mid 0\mid 35)$. Zu einem gewissen Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung $\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

Ja

Nein